数学 - Python - 代数学 - 連立方程式と高次方程式 - 直線と円、2次方程式、判別式、ただ1組の会を持つ場合、定数、連立2元2次方程式

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(連立方程式と高次方程式) 、問5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{l}y=\frac{k-4x}{3}\\ x^2+{\left(\frac{k-4x}{3}\right)}^2=1\\ 9x^2+k^2-8kx+16x^2=9\\ 25x^2-8kx+k^2-9=0\end{array}$

   問題の連立方程式の解がただ1組だけの解をもつためにはこれが重能をもてばよい。

   $\begin{array}{l}\frac{D}{4}=0\\ 16k^2-25\left(k^2-9\right)=0\\ 9k^2=25·9\\ k^2=25\\ k=\pm 5\end{array}$

   よって k が-5または5のときただ1組の解をもつ。

   解を求める。

   $\begin{array}{l}x=\frac{4\left(\pm 5\right)}{25}\\ =\pm \frac{4}{5}\\ y=\frac{\pm 5-4·\left(\pm \frac{4}{5}\right)}{3}\\ =\frac{\pm 25\mp 16}{15}\\ =\pm \frac{9}{15}\\ =\pm \frac{3}{5}\end{array}$

   よって、 k が5の場合、

   $x=\frac{4}{5},y=\frac{3}{5}$

   k が-5の場合、

   $x=-\frac{4}{5},y=-\frac{3}{5}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, solve, Rational, plot, sqrt

print('5.')

x, y, k = symbols('x, y, k')
eq1 = 4 * x + 3 * y - k
eq2 = x ** 2 + y ** 2 - 1


class TestSimultanEousequations(TestCase):
    def test_k(self):
        y0 = solve(eq1, y)[0]
        eq = eq2.subs({y: y0})
        self.assertEqual(
            eq.expand(),
            ((25 * x ** 2 - 8 * k * x + k ** 2 - 9) / 9).expand(),
        )
        ks = solve(16 * k ** 2 - 25 * (k ** 2 - 9))
        self.assertEqual(ks, [-5, 5])

    def test_xy(self):
        xys = [solve([eq1.subs({k: k0}),
                      eq2.subs({k: k0})])
               for k0 in [-5, 5]]
        for xy, xy0 in zip(xys, [{x: s * Rational(4, 5), y: s * Rational(3, 5)}
                                 for s in [-1, 1]]):
            self.assertEqual(len(xy), 1)
            self.assertEqual(xy[0], xy0)


p = plot(*[(k0 - 4 * x) / 3 for k0 in [-5, 5]],
         *[s * sqrt(1 - x ** 2) for s in [-1, 1]],
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'pink']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.save('sample5.png')
p.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py -v
5.
test_k (__main__.TestSimultanEousequations) ... ok
test_xy (__main__.TestSimultanEousequations) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.285s

OK
%