数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 接平面 - 曲面、垂直なベクトル、点とその接平面、法線の方程式、内積

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、2(接平面)の練習問題1の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} g r a d f (x, y, z) \\ = g r a d (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ = (2 x, 2 y, 2 z) \\ g r a d f (6, 2, 3) \\ = 2 (6, 2, 3) \end{array}$
  
  よって求める接平面の方程式は
  
  $\begin{array}{l} 2 (6, 2, 3) \cdot (x, y, z) = 2 (6, 2, 3) \cdot (6, 2, 3) \\ 6 x + 2 y + 3 z = 36 + 4 + 9 \\ 6 x + 2 y + 3 z = 49 \end{array}$
  
  法線の方程式は、
  
  $\begin{array}{l} (x, y, z) = (6, 2, 3) + t (6, 2, 3) \\ (x, y, z) = t (6, 2, 3) \end{array}$
2. $\begin{array}{l} g r a d (x y + y z + z x - 1) \\ = (y + z, z + x, x + y) \\ g r a d f (1, 1, 0) \\ = (1, 1, 2) \end{array}$
  
  接平面の方程式。
  
  $x + y + 2 z = 2$
  
  法線の方程式。
  
  $X = (1, 1, 0) + t (1, 1, 2)$
3. $\begin{array}{l} g r a d (x^{2} + x y^{2} + y^{3} + z + 1) \\ = (2 x + y^{2}, 2 x y + 3 y^{2}, 1) \\ g r a d f (2, - 3, 4) \\ = (13, 15, 1) \\ 13 x + 15 y + z = 26 - 45 + 4 = - 15 \\ X = (2, - 3, 4) + t (13, 15, 1) \end{array}$
4. $\begin{array}{l} g r a d (2 y - z^{3} - 3 x z) \\ = (- 3 z, 2, - 3 z^{2} - 3 x) \\ g r a d f (1, 7, 2) \\ = (- 6, 2, - 12 - 3) \\ = (- 6, 2, - 15) \\ - 6 x + 2 y - 15 z = - 6 + 14 - 30 = - 22 \\ X = (1, 7, 2) + t (- 6, 2, - 15) \end{array}$
5. $\begin{array}{l} g r a d (x^{2} y^{2} + x z - 2 y^{3}) \\ = (2 x y^{2} + z, 2 x^{2} y - 6 y^{2}, x) \\ g r a d f (2, 1, 4) \\ = (8, 2, 2) \\ = 2 (4, 1, 1) \\ 4 x + y + z = 8 + 1 + 4 = 13 \\ X = (2, 1, 4) + t (4, 1, 1) \end{array}$
6. $\begin{array}{l} g r a d (\sin (x y) + \sin (y z) + \sin (x z)) \\ = (y \cos (x y) + z \cos (x z), x \cos (x y) + z \cos (y z), y \cos (y z) + x \cos (x z)) \\ g r a d f (1, \frac{π}{2}, 0) \\ = (0, 0, \frac{π}{2} + 1) \\ (\frac{π}{2} + 1) z = 0 \\ z = 0 \\ X = (1, \frac{π}{2}, 0) + t (0, 0, \frac{π}{2} + 1) \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import symbols, sin, solve from sympy.plotting import plot3d print('1.') x, y, z, t = symbols('x, y, z, t', real=True) eqs = [x ** 2 + y ** 2 + z ** 2 - 49, x * y + y * z + z * x - 1, x ** 2 + x * y ** 2 + y ** 3 + z + 1, 2 * y - z ** 3 - 3 * x * z, x ** 2 * y ** 2 + x * z - 2 * y ** 3 - 10, sin(x * y) + sin(y * z) + sin(x * z) - 1] eqs1 = [6 * x + 2 * y + 3 * z - 49, x + y + 2 * z - 2, 13 * x + 15 * y + z + 15, -6 * x + 2 * y - 15 * z + 22, 4 * x + y + z - 13, z] for i, (eq, eq1) in enumerate(zip(eqs, eqs1)): c = chr(ord("a") + i) print(f'({c})') try: zs = solve(eq, z) + solve(eq1, z) p = plot3d(*zs, show=False) p.save(f'sample1_{c}.png') except Exception as err: print(err) p.show()

% ./sample1.py 1. (a) (b) <string>:1: RuntimeWarning: divide by zero encountered in true_divide float division by zero (c) (d) (e) (f) multiple generators [tan(x*z/2), tan(y*z/2)] No algorithms are implemented to solve equation -1 + 2*tan(y*z/2)/(tan(y*z/2)**2 + 1) + 2*tan(x*z/2)/(tan(x*z/2)**2 + 1) + 2*tan(x*y/2)/(tan(x*y/2)**2 + 1) %

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2020年5月6日水曜日

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