数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 - 線形写像の合成 - 回転、行列の積、三角関数(正弦と余弦)、逆写像、加法定理、単位行列

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の5章(線形写像と行列)、3(線形写像の合成)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta \text{'}& -\sin \theta \text{'}\\ \sin \theta \text{'}& \cos \theta \text{'}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}\cos \theta \cos \theta \text{'}-\sin \theta \sin \theta \text{'}& -\cos \theta \sin \theta \text{'}-\sin \theta \cos \theta \text{'}\\ \sin \theta \cos \theta \text{'}+\cos \theta \sin \theta \text{'}& -\sin \theta \sin \theta +\cos \theta \cos \theta \text{'}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\theta +\theta \text{'}\right)& -\sin \left(\theta +\theta \text{'}\right)\\ \sin \left(\theta +\theta \text{'}\right)& \cos \left(\theta +\theta \text{'}\right)\end{array}\right]\end{array}$

   よって、

   $F_{\theta }{F}_{\theta \text{'}}=F_{\theta +\theta \text{'}}$

   逆写像について。

   $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(-\theta \right)& -\sin \left(-\theta \right)\\ \sin \left(-\theta \right)& \cos \left(-\theta \right)\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

   よって、

   $F_{\theta }^{-1}=F_{-\theta }$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
import random
from sympy import symbols, Matrix, cos, sin

print('1.')

theta = symbols('θ')
f = Matrix([[cos(theta), -sin(theta)],
            [sin(theta), cos(theta)]])


def eq(A, B):
    for a, b in zip(A, B):
        if float(a) != float(b):
            return False
    return True


class TestRotate(TestCase):
    def test_composition(self):
        for _ in range(10):
            a = random.randrange(-10, 11)
            b = random.randrange(-10, 10)
            self.assertTrue(eq(f.subs({theta: a}) * f.subs({theta: b}),
                               f.subs({theta: a + b})))

    def test_inverse(self):
        for _ in range(10):
            theta0 = random.randrange(-10, 11)
            self.assertTrue(eq(f.inv().subs({theta: theta0}),
                               f.subs({theta: -theta0})))


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py -v
1.
test_composition (__main__.TestRotate) ... ok
test_inverse (__main__.TestRotate) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.518s

OK
%