数学 - Pytyhon - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 保存律 - ベクトル場、原点からの距離の立方、反比例、向き、位置ベクトル、ポテンシャル関数、勾配ベクトル、偏微分係数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、4(保存律)の練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   C と定数とする。

   問題のベクトル場は

   $F\left(X\right)=C\frac{1}{{∥X∥}^3}·\frac{X}{∥X∥}$

   ポテンシャル関数は、

   $\varphi \left(X\right)=-\frac{C}{2{∥X∥}^2}$

   実際に勾配ベクトル、偏微分を計算してみる。

   $\begin{array}{l}X=\left(x_1,\dots ,x_n\right)\\ \frac{\partial }{\partial x_i}\varphi \left(X\right)\\ =\frac{\partial }{\partial x_i}\left(-\frac{C}{2\sum _{k=1}^n{x}_k^2}\right)\\ =\frac{C}{2}\frac{1}{{\left(\sum _{k=1}^n{x}_k^2\right)}^2}·2x_i\\ =\frac{C{x}_i}{{∥X∥}^4}\\ grad\varphi \left(X\right)=C·\frac{1}{{∥X∥}^3}·\frac{X}{∥X∥}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix
from sympy.plotting import plot3d

print('2.')

C = symbols('C', real=True)
xs = symbols('x:2', real=True)
X = Matrix(xs)
f = C * X / X.norm() ** 4
phi = -1 * C / (2 * X.norm() ** 2)

grad_phi = Matrix([phi.diff(xi, 1) for xi in xs])


class TestPotential(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(f.simplify(), grad_phi.simplify())


p = plot3d(phi.subs({C: 1}),
           show=True)
p.save('sample2.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py -v
2.
test (__main__.TestPotential) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.272s

OK
%