数学 - Pytyhon - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 保存律 - ベクトル場、原点からの距離の累乗、ポテンシャル関数、対数関数、勾配ベクトル、偏微分係数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、4(保存律)の練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   求めるポテンシャル関数の1つは、

   $\begin{array}{l}k\ne 2\\ \varphi \left(X\right)\\ =-\frac{1}{\left(k-2\right)r^{k-2}}\\ k=2\\ \varphi \left(X\right)=\log r\end{array}$

   実数に勾配ベクトル、偏微分係数を計算してみる。

   $\begin{array}{l}X=\left(x_1,\dots ,x_n\right)\\ k\ne 2\\ \frac{\partial }{\partial x_i}\varphi \left(X\right)\\ =\frac{1}{k-2}·\frac{\left(k-2\right)r^{k-3}}{r^{2k-4}}·\frac{x_i}{r}\\ =\frac{x_i}{r^k}\\ grad\varphi \left(X\right)=\frac{X}{r^k}\\ k=1\\ \frac{\partial }{\partial x_i}\log r\\ =\frac{1}{r}\frac{x_i}{r}\\ =\frac{x_i}{r^2}\\ grad\varphi \left(X\right)=\frac{X}{r^2}\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, log
from sympy.plotting import plot3d

print('3.')

xs = symbols('x:2', real=True)
X = Matrix(xs)
k = symbols('k')
r = X.norm()
f = X / r ** k
phi = -1 / ((k - 2) * r ** (k - 2))
phi2 = log(r)

grad_phi = Matrix([phi.diff(xi, 1) for xi in xs])
grad_phi2 = Matrix([phi2.diff(xi, 1) for xi in xs])


class TestPotential(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(f.simplify(), grad_phi.simplify())

    def test2(self):
        self.assertEqual(f.subs({k: 2}).simplify(),
                         grad_phi2.simplify())


p = plot3d(phi.subs({k: 1}),
           show=False)
p.save('sample3_1.png')
p = plot3d(phi2, show=False)
p.save('sample3_2.png')

for k0 in range(3, 6):
    p = plot3d(phi.subs({k: k0}),
               show=False)
    p.save(f'sample3_{k0}.png')
p.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py -v
3.
test (__main__.TestPotential) ... ok
test2 (__main__.TestPotential) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.325s

OK
%