数学 - Pytyhon - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 接平面 - 曲面、接平面の方程式、内積、累乗(平方)、累乗根(平方根)、三角関数(正弦)

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、2(接平面)の練習問題5の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} g r a d (x^{2} + y^{2} - z) \\ = (2 x, 2 y, - 1) \\ (2 \cdot 3, 2 \cdot 4, - 1) \\ = (6, 8, - 1) \end{array}$
  
  よって、求める接平面の方程式は、
  
  $\begin{array}{l} 6 x + 8 y - z = 6 \cdot 3 + 8 \cdot 4 - 25 \\ 6 x + 8 y - z = 18 + 32 - 25 \\ 6 x + 8 y - z = 25 \end{array}$
2. $\begin{array}{l} g r a d (\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - z) \\ = (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 x}{x^{2} + y^{2}}, \frac{- \frac{x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + y^{2}}, - 1) \end{array}$
  
  点 P における勾配ベクトル。
  
  $\begin{array}{l} (\frac{5 - \frac{9}{5}}{25}, \frac{12}{5 \cdot 25}, - 1) \\ = (\frac{16}{5 \cdot 25}, \frac{12}{5 \cdot 25}, - 1) \end{array}$
  
  接平面の方程式。
  
  $\begin{array}{l} \frac{16}{5 \cdot 25} x + \frac{12}{5 \cdot 25} y - z = \frac{16 \cdot 3}{5 \cdot 25} + \frac{12 \cdot (- 4)}{5 \cdot 25} - \frac{3}{5} \\ 16 x + 12 y - 125 z = 48 - 48 - 75 \\ 16 x + 12 y - 125 z = - 75 \end{array}$
3. $\begin{array}{l} g r a d (\sin (x y) - z) \\ = (y \cos (x y), x \cos (x y), - 1) \\ (π \cos π, \cos π, - 1) \\ = (- π, - 1, - 1) \\ - π x - y - z = - π - π \\ π x + y + z = 2 π \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import symbols, sin, sqrt, pi from sympy.plotting import plot3d print('5.') x, y = symbols('x, y') fs = [x ** 2 + y ** 2, x / sqrt(x ** 2 + y ** 2), sin(x * y)] gs = [6 * x + 8 * y - 25, (16 * x + 12 * y + 75) / 125, (2 * pi - pi * x - y) / 2] for i, (f, g) in enumerate(zip(fs, gs)): c = chr(ord("a") + i) print(f'({c})') p = plot3d(f, g, (x, -5, 5), (y, -5, 5), show=False) p.save(f'sample5_{c}.png') p.show()

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2020年5月10日日曜日

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