2020年5月14日木曜日


解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、3(方向微分係数)の練習問題2の解答を求めてみる。



    1. g r a d f x , y = g r a d log x 2 + y 2 1 2 = x 2 + y 2 - 1 2 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 2 x , x 2 + y 2 - 1 2 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 2 y = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 g r a d f 1 , 1 = 1 2 1 , 1 1 2 1 , 1 · 2 , 1 4 + 1 = 2 + 1 2 5 = 3 2 5

    2. g r a d x y + y z + z x = y + z , x + z , y + x g r a d f - 1 , 1 , 7 = 8 , 6 , 0 = 2 4 , 3 , 0 2 4 , 3 , 0 · 3 , 4 , - 12 9 + 16 + 144 = 2 13 12 + 12 = 48 13

    3. g r a d 4 x 2 + 9 y 2 = 8 x , 18 y = 2 4 x , 9 y g r a d f 2 , 1 = 2 8 , 9 g r a d f 2 , 1 = 2 64 + 81 = 2 145

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, log, Rational, sqrt
from sympy.plotting import plot3d

print('2.')

x, y, z = symbols('x, y, z')


def grad(f, p):
    return Matrix([f.diff(o, 1) for o in [x, y, z]]).subs(p)


fs = [log((x ** 2+y ** 2) ** Rational(1, 2)),
      4 * x ** 2 + 9 * y ** 2]


class TestDirectionalDerivative(TestCase):
    def test_a(self):
        a = Matrix([2, 1, 0])
        self.assertEqual(
            grad(fs[0], {x: 1, y: 1}).dot(a / a.norm()),
            3 / (2 * sqrt(5)))

    def test_b(self):
        a = Matrix([3, 4, -12])
        self.assertEqual(
            grad(x * y + y * z + z * x, {x: -1, y: 1, z: 7}).dot(a / a.norm()),
            Rational(48, 13))

    def test_c(self):
        self.assertEqual(grad(fs[1], {x: 2, y: 1}).norm(), 2 * sqrt(145))


for i, f in zip(['a', 'c'], fs):
    p = plot3d(f,
               (x, -5, 5),
               (y, -5, 5),
               show=False)
    p.save(f'sample2_{i}.png')
p.show()


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py -v
2.
test_a (__main__.TestDirectionalDerivative) ... ok
test_b (__main__.TestDirectionalDerivative) ... ok
test_c (__main__.TestDirectionalDerivative) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 3 tests in 0.023s

OK
%
時刻: 14:00 ラベル: , , , ,

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