数学 - Pytyhon - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 方向微分係数 - 平面における温度分布、最大増加の向き、最小減少の向き

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、3(方向微分係数)の練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}gradf\left(x,y\right)\\ =grad\left(10+6\cos x\cos y+3\cos \left(2x\right)+4\cos \left(3y\right)\right)\\ =\left(-6\sin x\cos y-6\sin \left(2x\right),-6\cos x\sin y-12\sin \left(3y\right)\right)\\ gradf\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right)\\ =\left(-6·\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}-6·\frac{\sqrt{3}}{2},-6·\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ =\left(-\frac{9\sqrt{3}}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\end{array}$

   よって、温度の最大増加の向きは

   $\left(-\frac{9\sqrt{3}}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$

   最大減少向きは

   $\left(\frac{9\sqrt{3}}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, sin, cos, Rational, sqrt, pi
from sympy.plotting import plot3d

print('3.')

x, y = symbols('x, y')
f = 10 + 6 * cos(x) * cos(y) + 3 * cos(2 * x) + 4 * cos(3 * y)
gradf = Matrix([f.diff(o, 1) for o in [x, y]])
p = {x: pi / 3, y: pi / 3}
gradfp = gradf.subs(p)


class TestGrad(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(gradfp,
                         Matrix([-9 * sqrt(3) / 2, - 3 * sqrt(3) / 2]))


p0 = plot3d(f,
            (x, -5, 5),
            (y, -5, 5),
            show=False)
p0.show()
p0.save('sample3.png')


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py -v
3.
test (__main__.TestGrad) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.001s

OK
%