数学 - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 空間のベクトル - ベクトルの内積 - 正四面体、辺、垂直

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問16の解答を求めてみる。

16. 
    
    $\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}\\ =\overrightarrow{b}·\left(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\right)\\ =\overrightarrow{b}·\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}\\ =\left|\overrightarrow{b}\right|\left|\overrightarrow{d}\right|\cos \frac{\pi }{3}-\left|\overrightarrow{b}\right|\left|\overrightarrow{c}\right|\cos \frac{\pi }{3}\\ =0\end{array}$

    よって 正四面体 の辺 AB と CD は垂直である。

    （証明終）