数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 連続写像、閉包の像と像の閉包、包含関係

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題13の解答を求めてみる。

13. 
    
    $A\subset f^{-1}\left(f\left(A\right)\right)$

    が成り立つので、

    $A\subset f^{-1}\left(\stackrel{-}{f\left(A\right)}\right)$

    ここで、

    $\stackrel{-}{f\left(A\right)}$

    は閉集合で、 f は連続写像なので、

    $f^{-1}\left(\stackrel{-}{f\left(A\right)}\right)$

    は閉集合である。

    よって、

    $\stackrel{-}{A}\subset f^{-1}\left(\stackrel{-}{f\left(A\right)}\right)$

    ゆえに

    $f\left(\stackrel{-}{A}\right)\subset \stackrel{-}{f\left(A\right)}$

    （証明終）