数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 距離空間、部分集合、触点であるための必要十分条件

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   $a\in \stackrel{-}{A}$

   とする。

   U を a を含む任意の開集合とすと、 ある 正の実数

   $\epsilon >0$

   が存在して、

   $B(a;\epsilon )\subset U$

   また、

   $a\in \stackrel{-}{A}$

   なので、

   $A\cap B(a;\epsilon )\ne \varphi$

   よって、

   $A\cap U\ne \varphi$

   逆について。

   任意の正の実数

   $\epsilon >0$

   に対して、

   $B(a;\epsilon )$

   は開集合なので、

   $B(a;\epsilon )\cap A\ne \varphi$

   よって、

   $a\in \stackrel{-}{A}$

   （証明終）