数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 実数全体の集合、集積点全部の集合が整数全体の集合になる部分集合

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題12の解答を求めてみる。

12. 
    
    $A=\{m+\frac{1}{n}\in \text{ℝ}|m\in \text{ℤ}\wedge n\in \text{ℕ}-\left\{0\right\}\}\subset \text{ℝ}$

    の集積点 全ての集合は整数全体の集合である。

    実際に確認。

    x を A の集積点 全部の集合の任意の元とする

    $x\in \stackrel{-}{A\backslash \left\{x\right\}}$

    x が整数では ないと仮定する。

    $x=m+\frac{1}{n},m\in \text{ℤ},n\in \text{ℕ}-\{0,1\}$

    このとき

    $0<r<\frac{1}{n+1}$

    と満たす実数に対して

    $B(x;r)\cap A\backslash \left\{x\right\}=\varphi$

    よって

    $x\notin \stackrel{-}{A\backslash \left\{x\right\}}$

    となり矛盾。

    よって、

    $A\text{'}$

    の元が存在するとすれば整数である。

    m を任意の整数とする。

    任意の正の実数

    $\epsilon >0$

    に対して

    $0<\frac{1}{n}<\epsilon ,n\in \text{ℕ}-\left\{0\right\}$

    て満たす n をとれば

    $m+\frac{1}{n}\in A\backslash \left\{m\right\}$

    $m+\frac{1}{n}\in B(m;\epsilon )$

    なので、

    $B(m;\epsilon )\cap A\backslash \left\{m\right\}\ne \varphi$

    よって、

    $m\in \stackrel{-}{A\backslash \left\{m\right\}}$

    ゆえに、

    $m\in A\text{'}$

    以上 より、

    $A\text{'}=\text{ℤ}$

    が成り立つ。