数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 距離空間、部分集合、開集合と閉包の和集合、包含関係

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   a を A と B の閉包の共通部分の任意の元とする。

   $a\in A\cap \stackrel{-}{B}$

   また、 O を a を含む任意の開集合とすると、 A と Oのの共通部分は a を含む 開集合である。

   $a\in A\cap O$

   よって、 ある正の実数

   $\epsilon >0$

   が存在して、

   $B(a;\epsilon )\subset A\cap O$

   また、

   $a\in \stackrel{-}{B}$

   なので、

   $B(a;\epsilon )\cap B\ne \varphi$

   よって、

   $A\cap O\cap B\ne \varphi$

   $O\cap (A\cap B)\ne \varphi$

   ゆえに、

   $a\in \stackrel{-}{A\cap B}$

   以上より

   $A\cap \stackrel{-}{B}\subset \stackrel{-}{A\cap B}$

   である。

   （証明終）