数学 - 線形代数学 - 行列式 - 線形写像の行列式 - ある体上の2×2行列のなす空間、線形性、加法、スカラー倍、対応する行列、基底、転置行列 | Kamimura's blog

2020年6月27日土曜日

数学 - 線形代数学 - 行列式 - 線形写像の行列式 - ある体上の2×2行列のなす空間、線形性、加法、スカラー倍、対応する行列、基底、転置行列

ラング線形代数学(上)
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学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、10(線形写像の行列式)、練習問題3の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} L_{B} (X + Y) \\ = B (X + Y) \\ = B X + B Y \\ = L_{B} (X) + L_{B} (Y) \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{B} (c A) \\ = B (c A) \\ = c (B A) \\ = c L_{B} (A) \end{array}$

よって線形写像である。

また、

$L_{B} (e_{11}) = [\begin{matrix} b_{11} & 0 \\ b_{21} & 0 \end{matrix}] = b_{11} e_{11} + b_{21} e_{21} + 0 e_{12} + 0 e_{22}$

$L_{B} (e_{21}) = [\begin{matrix} b_{12} & 0 \\ b_{22} & 0 \end{matrix}] = b_{12} e_{11} + b_{22} e_{21} + 0 e_{12} + 0 e_{22}$

$L_{B} (e_{12}) = [\begin{matrix} 0 & b_{11} \\ 0 & b_{21} \end{matrix}] = 0 e_{11} + 0 e_{21} + b_{11} e_{12} + b_{21} e_{22}$

$L_{B} (e_{22}) = [\begin{matrix} 0 & b_{12} \\ 0 & b_{22} \end{matrix}] = 0 e_{11} + 0 e_{21} + b_{12} e_{12} + b_{22} e_{22}$

よって、この基底

$β = {e_{11}, e_{21}, e_{12}, e_{22}}$

に関して線形写像

$L_{B}$

に対応する行列は

$M_{β}^{β} (L_{B}) = [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & 0 & 0 \\ b_{21} & b_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{11} & b_{12} \\ 0 & 0 & b_{21} & b_{22} \end{matrix}]$

よって、この線形写像の行列式は

$\det L_{B}$

$= \det [\begin{matrix} B & O \\ O & B \end{matrix}]$

$= {(\det B)}^{2}$

（証明終）

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