数学 - 線形代数学 - 行列式 - 線形写像の行列式 - 三角関数(正弦、余弦)、基底、実数の上のベクトル空間、微分演算

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、10(線形写像の行列式)、練習問題6の解答を求めてみる。

6. 
   

   問題の実政の上の ベクトル空間 V の任意の元v は

   $\begin{array}{l}v=a\left(\sin t\right)+b\left(\cos t\right)\\ a,b\in \text{ℝ}\end{array}$

   と表わすことができる。

   この微分は

   $\frac{dv}{\mathrm{dt}}=a\left(\cos t\right)-b\left(\sin t\right)$

   よって微分演算によって与えられる線形写像は

   $L(a\left(\sin t\right)+b\left(\cos t\right))=-b\left(\sin t\right)+a\left(\cos t\right)$

   よって

   $\begin{array}{l}L\left(\sin t\right)=0\sin t+\cos t\\ L\left(\cos t\right)=-\sin t+0\cos t\end{array}$

   よって、 この線形写像に対応する行列は

   $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

   ゆえに、線形写像の行列式は

   $\det L=\det \left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right]=1$