数学 - 線形代数学 - 行列式 - 行列式の存在 - 偶置換と奇置換の個数、互換、全射、全単射

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、5(行列式の存在)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   奇置換の個数を a、偶置換の個数を bとする。

   $\sigma$

   を任意の奇置換とすると

   $(1,2)\sigma$

   は偶置換である。

   よって、 偶置換全体の集合から奇置換全体の集合への全射が存在する。

   ゆえに、

   $a\le b$

   同様に、奇置換全体の集合から偶置換全体の集合への全射が存在するので、

   $a\ge b$

   よって

   $a=b$

   すなわち奇置換と偶置換の個数は等しい。

   （証明終）