数学 - 線形代数学 - 行列式 - 一意性 - n次元列ベクトル、一次独立、実数全体の集合の上、複素数全体の集合の上

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、6(一意性)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}\sum _{k=1}^n{c}_k{A}^k=O\\ c_k\in \text{ℂ}\end{array}$

   のとき、

   $\begin{array}{l}{c}_k=a_k+b_{k}i\\ a_k,b_k\in \text{ℝ}\end{array}$

   とおくと、

   $\sum _{k=1}^n{a}_k{A}^k+i\sum _{k=1}^n{b}_k{A}^k=O$

   よって、

   $\sum _{k=1}^n{a}_k{A}^k=O,\sum _{k=1}^n{b}_k{A}_k=O$

   問題の仮定より

   $A^1,\dots ,A^n$

   は1次独立なので、

   $\begin{array}{l}{a}_k=b_k=0\\ (k=1,\dots ,n)\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}{c}_k=0\\ (k=1,\dots ,n)\end{array}$

   ゆえに、複素数上でも1次独立である。

   また、複素数の上で 1次独立の場合、

   $\begin{array}{l}\sum _{k=1}^n{a}_k{A}^k=O\\ a_k\in \text{ℝ}\end{array}$

   ならば、

   $\sum _{k=1}^n(a_k+0i)A^k=O$

   仮定より

   $\begin{array}{l}{a}_k+0i=0\\ a_k=0\end{array}$

   よって、 実数の上でも1次独立である。

   （証明終）