数学 - Python - 代数学 - 1次関数、2次関数 - 関数のグラフと方程式 - 判別式、解の個数、符号、x軸、y軸、交点の座標、係数

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第6章(1次方程式、2次方程式)、6(関数のグラフと方程式)の問21、22、23の解答を求めてみる。

$\frac{D}{4} = 1 + k$

よって、

$\begin{array}{l} 1 + k < 0 \\ k < - 1 \end{array}$

のとき X 軸との共有点は0個。

$k = - 1$

のとき1個。

$k > - 1$

のとき2個。
a が正のとき、 c は負で下に凸、 y 軸との交点の y 座標は負。よって異符号の2つの実数解をもつ。

a が負のとき、 c は正で上に凸、 y 軸との交点の y 座標は正なので、異符号の2つの実数解をもつ。

よって

$a c < 0$

ならば、

$y = a x^{2} + b x + c$

は異符号の2つの実数解をもつ。
異符号の2つの実数解をもつとき、

$a c \geq 0$

と仮定する。

$c = 0$

の場合、

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x = 0 \\ a x (x + \frac{b}{a}) = 0 \\ x = 0, - \frac{b}{a} \end{array}$

となり異符号の2つの解をもたないので矛盾。

よって、

$a c < 0$

ゆえに正しい。

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, plot, solveset, S from sympy.abc import x, k print('21, 22, 23.') y = -x ** 2 + 2 * x + k class Test(TestCase): def test_0(self): self.assertEqual(len(solveset(y.subs({k: -2}), domain=S.Reals)), 0) def test_1(self): self.assertEqual(len(solveset(y.subs({k: -1}), domain=S.Reals)), 1) def test_2(self): self.assertEqual(len(solveset(y.subs({k: 0}), domain=S.Reals)), 2) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] p = plot(*[y.subs({k: k0}) for k0 in range(-2, 2)], (x, -10, 10), ylim=(-10, 10), legend=True, show=False) for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.save('sample21.png') p.show() if __name__ == "__main__": main()

% ./sample21.py -v 21, 22, 23. test_0 (__main__.Test) ... ok test_1 (__main__.Test) ... ok test_2 (__main__.Test) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 3 tests in 0.050s OK %

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2020年6月8日月曜日

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