数学 - Python - 代数学 - 1次関数、2次関数 - 直線、22次関数の最大値と最小値、頂点

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第6章(1次方程式、2次方程式)、練習問題11の解答を求めてみる。

1. $y = \frac{- 4 x + 10}{3}$
  
  $4 x^{2} + 3 y^{2}$
  
  $= 4 x^{2} + 3 \cdot \frac{4^{2} x^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 10 x + 1 0^{2}}{3^{2}}$
  
  $= (4 + \frac{4^{2}}{3}) x^{2} - \frac{2^{4} \cdot 5}{3} x + \frac{1 0^{2}}{3}$
  
  よって、求める最小値は
  
  $- \frac{{(\frac{2^{4} \cdot 5}{3})}^{2} - 4 \cdot (4 + \frac{4^{2}}{3}) \cdot \frac{1 0^{2}}{3}}{4 (4 + \frac{4^{2}}{3})}$
  
  $= - \frac{2^{8} \cdot 5^{2}}{3^{2}} \cdot \frac{1}{2^{2} (2^{2} + \frac{2^{4}}{3})} + \frac{1 0^{2}}{3}$
  
  $= - \frac{2^{8} \cdot 5^{2}}{3^{2}} \cdot \frac{1}{2^{4} + \frac{2^{6}}{3}} + \frac{1 0^{2}}{3}$
  
  $= - \frac{2^{8} \cdot 3 \cdot 5^{2}}{3^{2} (2^{4} \cdot 3 + 2^{6})} + \frac{1 0^{2}}{3}$
  
  $= - \frac{2^{8} \cdot 3 \cdot 5^{2}}{2^{4} \cdot 3^{2} (3 + 2^{2})} + \frac{1 0^{2}}{3}$
  
  $= - \frac{2^{4} \cdot 5^{2}}{3 \cdot 7} + \frac{2^{2} \cdot 5^{2}}{3}$
  
  $= \frac{- 2^{4} \cdot 5^{2} + 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7}{3 \cdot 7}$
  
  $= \frac{2^{2} \cdot 5^{2} (- 2^{2} + 7)}{3 \cdot 7}$
  
  $= \frac{4 \cdot 25}{7}$
  
  $= \frac{100}{7}$
2. $4 x^{2} - 3 y^{2}$
  
  $= 2^{2} x^{2} - 3 {(\frac{- 2^{2} x + 2 \cdot 5}{3})}^{2}$
  
  $= 2^{2} (1 - \frac{2^{2}}{3}) x^{2} + \frac{2^{4} \cdot 5}{3} x - \frac{2^{2} \cdot 5^{2}}{3}$
  
  よって、求める最大値は、
  
  $- \frac{{(\frac{2^{4} \cdot 5}{3})}^{2} - 4 \cdot 2^{2} (- \frac{1}{3}) (- \frac{2^{2} \cdot 5^{2}}{3})}{4 \cdot 2^{2} (- \frac{1}{3})}$
  
  $= \frac{\frac{2^{8} \cdot 5^{2}}{3^{2}}}{\frac{2^{4}}{3}} - \frac{2^{2} \cdot 5^{2}}{3}$
  
  $= \frac{2^{8} \cdot 5^{2}}{2^{4} \cdot 3} - \frac{2^{2} \cdot 5^{2}}{3}$
  
  $= \frac{2^{4} \cdot 5^{2}}{3} - \frac{2^{2} \cdot 5^{2}}{3}$
  
  $= \frac{2^{2} \cdot 5^{2} (2^{2} - 1)}{3}$
  
  $= 2^{2} \cdot 5^{2}$
  
  $= 100$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import plot, Rational from sympy.abc import x print('11.') y = (-4 * x + 10) / 3 y1 = 4 * x ** 2 + 3 * y ** 2 y2 = 4 * x ** 2 - 3 * y ** 2 p = plot(y1, y2, Rational(100, 7), 100, (x, -5, 15), ylim=(Rational(100, 7), 100), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample11.png')

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2020年6月21日日曜日

数学 - Python - 代数学 - 1次関数、2次関数 - 直線、22次関数の最大値と最小値、頂点

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