数学 - Python - 代数学 - 1次関数、2次関数 - 最小値をもち、ある点を通り、ある直線に接する放物線

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(1次方程式、2次方程式)、練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   

   求める2次関数を

   $\begin{array}{l}y=a{x}^2+bx+c\\ =a{(x-\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\end{array}$

   とおく。

   点（1，0） を通るので、

   $\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c=-a-b\end{array}$

   最小値-2をもつので

   $\begin{array}{l}a>0\\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=-2\\ b^2-4ac=8a\end{array}$

   直線

   $x+y=0$

   に接するので、

   $\begin{array}{l}-x=a{x}^2+bx+c\\ a{x}^2+(b+1)x+c=0\\ {(b+1)}^2-4ac=0\\ b^2+2b+1-4ac=0\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{b}^2+4a(a+b)=8a\\ b^2+2b+1+4a(a+b)=0\end{array}\\ 2b+1=-8a\\ b=-\frac{8a+1}{2}\end{array}$

   $\begin{array}{l}\frac{64a^2+16a+1}{4}+4a(a-\frac{8a+1}{2})=8a\\ 64a^2+16a+1+16a\frac{-6a-1}{2}=32a\\ 64a^2+16a+1-48a^2-8a=32a\\ 16a^2-24a+1=0\\ a=\frac{12\pm \sqrt{144-16}}{16}=\frac{12\pm 8\sqrt{2}}{16}=\frac{3\pm 2\sqrt{2}}{4}\end{array}$

   $\begin{array}{l}b=-\frac{2(3\pm 2\sqrt{2})+1}{2}=-\frac{7\pm 4\sqrt{2}}{2}\\ c=-\frac{3\pm 2\sqrt{2}}{4}+\frac{7\pm 4\sqrt{2}}{2}=\frac{11\pm 6\sqrt{2}}{4}\end{array}$

   よって求める2次関数は

   $y=\frac{3\pm 2\sqrt{2}}{4}{x}^2-\frac{7\pm 4\sqrt{2}}{2}x+\frac{11\pm 6\sqrt{2}}{4}$

   （複号同順）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, plot, solveset, S, sqrt
from sympy.abc import x

print('8.')

y = -x
ys = [(3 + s * 2 * sqrt(2)) * x ** 2 / 4 -
      (7 + s * 4 * sqrt(2)) * x / 2 + (11 + s * 6 * sqrt(2)) / 4
      for s in [-1, 1]]


class Test(TestCase):
    def test(self):
        for y0 in ys:
            self.assertEqual(
                len(solveset(y0 - y, domain=S.Reals)),
                1
            )


p = plot(y, *ys, -2,
         (x, -10, 10),
         ylim=(-5, 15),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.save('sample8.png')
p.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample8.py -v
8.
test (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.433s

OK
%