数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 線形写像の行列式 - ある体上のそれ自身との積が零の2×2行列、単位行列、スカラー倍、差

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、10(線形写像の行列式)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\det (cI-A)$

   $\begin{array}{l}=\det \left[\begin{array}{cc}c-a_{11}& -a_{12}\\ -a_{21}& c-a_{22}\end{array}\right]\\ =(c-a_{11})(c-a_{22})-a_{12}{a}_{21}\\ =c^2-c(a_{11}+a_{22})+a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\end{array}$

   $A^2=O$

   $\{\begin{array}{l}{a}_{11}^2+a_{12}{a}_{21}=0\\ a_{11}{a}_{12}+a_{12}{a}_{22}=0\\ a_{11}{a}_{21}+a_{21}{a}_{22}=0\\ a_{12}{a}_{21}+a_{22}^2=0\end{array}$

   $\begin{array}{l}{a}_{11}^2-a_{22}^2=0\\ (a_{11}+a_{22})(a_{11}-a_{22})=0\end{array}$

   $a_{11}+a_{22}=0$

   のとき、

   $a_{22}=-a_{11}$

   $a_{12}{a}_{21}=-a_{11}^2$

   $a_{11}{a}_{22}=-a_{11}^2$

   よって

   $\det (cI-A)=c^2$

   $a_{11}-a_{22}=0$

   のとき、

   $a_{11}=a_{22}$

   $\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{12}=0\\ a_{11}{a}_{21}=0\end{array}$

   $a_{11}=0$

   のとき

   $\begin{array}{l}{a}_{11}+a_{22}=0\\ a_{11}{a}_{22}=0\\ a_{12}{a}_{21}=0\end{array}$

   よって

   $\det (cI-A)=c^2$

   $a_{12}=a_{21}=0$

   のとき、

   $\begin{array}{l}{a}_{11}^2=0\\ a_{11}=0\end{array}$

   よって

   $\det (cI-A)=c^2$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
import random
from sympy import Matrix
from sympy.abc import c

print('5.')


class Test(TestCase):
    def test(self):
        I = Matrix([[1, 0], [0, 1]])
        for i in range(50000):
            A = Matrix([random.randrange(-10, 11)
                        for _ in range(4)]).reshape(2, 2)
            if A ** 2 == Matrix([[0, 0], [0, 0]]):
                print(i)
                self.assertEqual((c * I - A).det(), c ** 2)


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py -v
5.
test (__main__.Test) ... 4248
5650
5992
12687
12689
17092
17482
18202
18573
20901
23245
24426
25631
26858
27137
29150
37909
39746
39975
42749
46018
48315
49074
49668
ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 14.086s

OK
%