数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 行列式の存在 - 3×3行列、一般化、帰納法、バンデルモンドの行列式

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、4(行列式の存在)、練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\det \left[\begin{array}{ccc}1& x_1& x_1^2\\ 1& x_2& x_2^2\\ 1& x_3& x_3^2\end{array}\right]\\ =\det \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& x_2-x_1& x_2^2-x_1^2\\ 0& x_3-x_1& x_3^2-x_1^2\end{array}\right]\\ =\left(x_2-x_1\right)\left(x_3^2-x_1^2\right)-\left(x_2^2-x_1^2\right)\left(x_3-x_1\right)\\ =\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_1\right)\left(\left(x_3+x_1\right)-\left(x_2+x_1\right)\right)\\ =\left(x_2-x_1\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right)\end{array}$

      （証明終）

   2. 
      
      $\det \left[\begin{array}{cccc}1& x_1& \dots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& \dots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& \text{none}& ⋮\\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right]$
      $=\det \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\\ 0& \left(x_2-x_1\right)& \left(x_2^2-x_2{x}_1\right)& \dots & \left(x_2^{n-1}-x_2^{n-2}{x}_1\right)\\ ⋮& ⋮& ⋮& \text{none}& ⋮\\ 0& \left(x_n-x_1\right)& \left(x_n^2-x_n{x}_1\right)& \dots & \left(x_n^{n-1}-x_n^{n-2}{x}_1\right)\end{array}\right]$
      $=\left(x_n-x_1\right)\left(x_{n-1}-x_1\right)·\dots ·\left(x_2-x_1\right)\det \left[\begin{array}{cccc}n& x_2& \dots & x_2^{n-2}\\ 1& x_3& \dots & x_3^{n-2}\\ ⋮& ⋮& \text{none}& ⋮\\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-2}\end{array}\right]$

      よって、帰納法により、

      $\det \left[\begin{array}{cccc}1& x_1& \dots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& \dots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& \text{none}& ⋮\\ 1& x_n& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right]=\prod _{i<j}\left(x_j-x_i\right)$

      が成り立つ。

      （証明終）