数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 行列の逆転 - 逆行列

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、9(行列の逆転)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\det A\\ =\det \left[\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 0& 3& -1\\ 4& 1& 1\end{array}\right]\\ =2(3+1)+4(-1-6)\\ =8-28\\ =-20\end{array}$

      $\det A_{11}=3+1=4$

      $\det A_{12}=4$

      $\det A_{13}=-12$

      $\det A_{21}=1-2=-1$

      $\det A_{22}=2-8=-6$

      $\det A_{23}=2-4=-2$

      $\det A_{31}=-1-6=-7$

      $\det A_{32}=-2$

      $\det A_{33}=6$

      $A^{-1}=-\frac{1}{20}\left[\begin{array}{ccc}4& 1& -7\\ -4& -6& 2\\ -12& 2& 6\end{array}\right]$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\det \left[\begin{array}{ccc}3& -1& 5\\ -1& 2& 1\\ -2& 4& 3\end{array}\right]\\ =3(6-4)+(-3+2)+5(-4+4)\\ =6-1\\ =5\end{array}$
      $\det A_{11}=6-4=2$
      $\det A_{12}=-3+2=-1$
      $\det A_{13}=-4+4=0$
      $\det A_{21}=-3-20=-23$
      $\det A_{22}=9+10=19$
      $\det A_{23}=12-2=10$
      $\det A_{31}=-1-10=-11$
      $\det A_{32}=3+5=8$
      $\det A_{33}=6-1=5$
      $A^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{ccc}2& 23& -11\\ 1& 19& -8\\ 0& -10& 5\end{array}\right]$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\det \left[\begin{array}{ccc}2& 4& 3\\ -1& 3& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right]\\ =6+(4-6)\\ =4\end{array}$
      $\begin{array}{l}\det A_{11}=3\\ \det A_{12}=-1\\ \det A_{13}=-2\\ \det A_{21}=4-6=-2\\ \det A_{22}=2\\ \det A_{23}=4\\ \det A_{31}=-9\\ \det A_{32}=3\\ \det A_{33}=6+4=10\end{array}$
      $A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3& 2& -9\\ 1& 2& -3\\ -2& -4& 10\end{array}\right]$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}\det A=7-2=5\\ \det A_{11}=5,\det A_{12}=0,\det A_{13}=0\\ \det A_{21}=16,\det A_{22}=7,\det A_{23}=2\\ \det A_{31}=3,\det A_{32}=1,\det A_{33}=1\\ A^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{ccc}5& -16& 3\\ 0& 7& -1\\ 0& -2& 1\end{array}\right]\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{l}\det A=-4(40-21)=-4·19=-76\\ \det A_{11}=0,\det A_{12}=32,\det A_{13}=28\\ \det A_{21}=19,\det A_{22}=-14,\det A_{23}=-17\\ \det A_{31}=0,\det A_{32}=-12,\det A_{33}=-20\\ A^{-1}=-\frac{1}{76}\left[\begin{array}{ccc}0& -19& 0\\ -32& -14& 12\\ 28& 17& -20\end{array}\right]\end{array}$