数学 - Python - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 直線・平面・球の方程式 - 点と平面の距離 - 2つの直線とそれを含む互いに平行な平面、2直線の距離

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、点と平面の距離の問38の解答を求めてみる。

1. て直線 l、 m の方向ベクトルはそれぞれ
  
  $\begin{array}{l} (2, 3, 1) \\ (2, 1, - 1) \end{array}$
  
  求める2平面に共通な法線ベクトルを
  
  $(a, b, c)$
  
  とすると、
  
  ${\begin{cases} (2, 3, 1) \cdot (a, b, c) = 0 \\ (2, 1, - 1) \cdot (a, b, c) = 0 \end{cases}$
  
  ${\begin{cases} 2 a + 3 b + c = 0 \\ 2 a + b - c = 0 \end{cases}$
  
  $\begin{array}{l} 4 a + 4 b = 0 \\ b = - a \\ c = 2 a - a = a \end{array}$
  
  よって、法線ベクトルの1つは
  
  $(1, - 1, 1)$
  
  また、
  
  $(3, 3, 0)$
  
  は l を含む平面上の点、
  
  $(1, - 3, 2)$
  
  は m を含む平面上の点なので、求める l を含む平面の方程式、 m を含む方程式をそれぞれ
  
  $\begin{array}{l} x - y + z + d = 0 \\ x - y + z + e = 0 \end{array}$
  
  とおくと、
  
  $\begin{array}{l} 3 - 3 + d = 0 \\ d = 0 \\ 1 + 3 + 2 + e = 0 \\ e = - 6 \end{array}$
  
  よって、互いに平行である直線 l、 m を含む方程式はそれぞれ
  
  $\begin{array}{l} x - y + z = 0 \\ x - y + z - 6 = 0 \end{array}$
2. 求める距離の放小値は平面
  
  $x - y + z = 0$
  
  上の点、
  
  $(0, 0, 0)$
  
  と平面
  
  $x - y + z - 6 = 0$
  
  との距長住と等しいので、その値は
  
  $\frac{| - 6 |}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy.plotting import plot3d, plot3d_parametric_line from sympy.abc import x, y, t print('38.') p = plot3d( -x + y, -x + y + 6, show=False) pp = plot3d_parametric_line( (3 + 2 * t, 3 + 3 * t, t, (t, -5, 5)), (1 + 2 * t, -3 + t, 2 - t, (t, -10, 10)), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(pp, colors): o.line_color = color for o in pp: p.append(o) p.save('sample38.png') p.show()

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2020年6月14日日曜日

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