数学 - Python - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 直線・平面・球の方程式 - 異なる2定点、ノルム、比、球面、ベクトルの計算、内積

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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問42の解答を求めてみる。

42. 
    
    $|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|=2|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|$

    ${|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}|}^2=4{|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|}^2$

    $(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})·(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=4(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})·(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})$

    ${\left|\overrightarrow{p}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{p}=4{\left|\overrightarrow{p}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-8\overrightarrow{b}·\overrightarrow{p}$

    $3{\left|\overrightarrow{p}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{p}-8\overrightarrow{b}·\overrightarrow{p}=0$

    ${\left|\overrightarrow{p}\right|}^2-\frac{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2}{3}+\frac{4}{3}{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+\frac{2}{3}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{p}-\frac{8}{3}\overrightarrow{b}·\overrightarrow{p}=0$

    ${|\overrightarrow{p}-\frac{4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{3}|}^2-\frac{1}{9}{|4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}^2+\frac{2}{3}(4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})·\overrightarrow{p}-\frac{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2}{3}+\frac{4}{3}{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+\frac{2}{3}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{p}-\frac{8}{3}\overrightarrow{b}·\overrightarrow{p}=0$

    ${|\overrightarrow{p}-\frac{4\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{3}|}^2-\frac{4}{9}{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-\frac{4}{9}{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+\frac{8}{9}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0$

    ${|\overrightarrow{p}-\frac{4}{3}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})|}^2=\frac{4}{9}({\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2)$

    ${|\overrightarrow{p}-\frac{4}{3}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})|}^2=\frac{4}{9}{|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}^2$

    $|\overrightarrow{p}-\frac{4}{3}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})|=\frac{2}{3}{|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}^2$

    $|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}|=r$

    よって、 点 C を中心とする半径 r の 球面である。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
import random
from sympy import solve, Matrix, symbols, pprint
from sympy.plotting import plot3d

print('42.')

x, y, z = symbols('x, y, z', real=True)
p = Matrix([x, y, z])
for i in range(2):
    a = Matrix([random.randrange(-5, 6) for _ in range(3)])
    b = Matrix([random.randrange(-5, 6) for _ in range(3)])
    pprint(a)
    pprint(b)
    eq = (p - a).norm() - 2 * (p - b).norm()
    zs = solve(eq, z)
    pprint(zs)
    p3d = plot3d(*zs,
                 (x, -10, 10),
                 (y, -10, 10),
                 show=False)

    p3d.save(f'sample42_{i}.png')

p3d.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample42.py
42.
⎡-1⎤
⎢  ⎥
⎢-4⎥
⎢  ⎥
⎣2 ⎦
⎡-5⎤
⎢  ⎥
⎢-2⎥
⎢  ⎥
⎣5 ⎦
⎡       ____________________________________     _____________________________
⎢      ╱      2              2                  ╱      2              2       
⎢    ╲╱  - 9⋅x  - 114⋅x - 9⋅y  - 24⋅y - 261   ╲╱  - 9⋅x  - 114⋅x - 9⋅y  - 24⋅y
⎢6 - ───────────────────────────────────────, ────────────────────────────────
⎣                       3                                        3            

_______    ⎤
           ⎥
 - 261     ⎥
─────── + 6⎥
           ⎦
⎡3⎤
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢ ⎥
⎣3⎦
⎡-3⎤
⎢  ⎥
⎢2 ⎥
⎢  ⎥
⎣1 ⎦
⎡       ___________________________________     ______________________________
⎢      ╱      2             2                  ╱      2             2         
⎢1   ╲╱  - 9⋅x  - 90⋅x - 9⋅y  + 42⋅y - 110   ╲╱  - 9⋅x  - 90⋅x - 9⋅y  + 42⋅y -
⎢─ - ──────────────────────────────────────, ─────────────────────────────────
⎣3                     3                                       3              

_____    ⎤
         ⎥
 110    1⎥
───── + ─⎥
        3⎦
%