数学 - Python - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 直線・平面・球の方程式 - 点と平面の距離 - 垂線の足、対称点

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、点と平面の距離の問36の解答を求めてみる。

36. 
    
    1. 
       

       求める点 Q の座標を

       $Q=(x,y,z)$

       とおくと、

       $\begin{array}{l}6x-y-z-4=0\\ z=6x-y-4\end{array}$

       $\begin{array}{l}\overrightarrow{PQ}\\ =(x-10,y+5,z-4)\\ =(x-10,y+5,6x-y-8)\end{array}$

       また、平面の法線ベクトルは

       $(6,-1,-1)$

       なので、ある実数 t が存在して

       $t(6,-1,-1)=(x-10,y+5,6x-y-8)$

       $\{\begin{array}{l}x-10=6t\\ y+5=-t\\ 6x-y-8=-t\end{array}$

       $t=-y-5$

       $\{\begin{array}{l}x-10=-6y-30\\ 6x-y-8=y+5\end{array}$

       $\{\begin{array}{l}x+6y=-20\\ 6x-2y=13\end{array}$

       $\{\begin{array}{l}x+6y=-20\\ 18x-6y=39\end{array}$

       $\begin{array}{l}19x=19\\ x=1\end{array}$

       $\begin{array}{l}6-2y=13\\ y=-\frac{7}{2}\end{array}$

       $z=6+\frac{7}{2}-4=\frac{11}{2}$

       よって、 求める Q の座標は

       $(1,-\frac{7}{2},\frac{11}{2})$
    2. 
       
       $\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{PQ}\right|\\ =\left|(9,-5+\frac{7}{2},4-\frac{11}{2})\right|\\ =\left|(9,-\frac{3}{2},-\frac{3}{2})\right|\\ =\sqrt{3^4+\frac{3^2}{2^2}+\frac{3^2}{2^2}}\\ =\frac{3}{2}\sqrt{2^2·3^2+1+1}\\ =\frac{3\sqrt{38}}{2}\end{array}$
    3. 
       

       求める点 R の座標 を

       $R=(x,y,z)$

       とすると、

       $\frac{(x,y,z)+(10,-5,4)}{2}=(1,-\frac{7}{2},\frac{11}{2})$
       $\begin{array}{l}\frac{x+10}{2}=1\\ x=-8\end{array}$
       $\begin{array}{l}\frac{y-5}{2}=-\frac{7}{2}\\ y=-2\end{array}$
       $\begin{array}{l}\frac{z+4}{2}=\frac{11}{2}\\ z=7\end{array}$

       よって、おめる点 R の座標は

       $(-8,-2,7)$