数学 - Python - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 直線・平面・球の方程式 - 球面と平面 - 中心、交わらない場合、距離、内分点、垂線の足、法線ベクトル、同じ向き、平行

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、球面と平面の問46の解答を求めてみる。

1. 求める垂線の足 D の座標を
  
  $(a, b, c)$
  
  とおく。
  
  D は平面上の点なので、
  
  $2 a - 3 b + 6 c - 2 = 0$
  
  また、ベクトル C D は
  
  $(a - 3, b + 1, c - 7)$
  
  で、これは平面の法線ベクトル
  
  $(2, - 3, 6)$
  
  と平行なので、
  
  $(a - 3, b + 1, c - 7) = k (2, - 3, 6)$
  
  よって
  
  $\begin{array}{l} a = 2 k + 3 \\ b = - 3 k - 1 \\ c = 6 k + 7 \end{array}$
  
  ゆえに、
  
  $2 (2 k + 3) - 3 (- 3 k - 1) + 6 (6 k + 7) - 2 = 0$
  
  $\begin{array}{l} 4 k + 9 k + 36 k = - 6 - 3 - 42 + 2 \\ 49 k = - 49 \\ k = - 1 \end{array}$
  
  よって求める D の座標は、
  
  $(1, 2, 1)$
2. $\begin{array}{l} {| C D |}^{2} = {(3 - 1)}^{2} + {(- 1 - 2)}^{2} + {(7 - 1)}^{2} \\ = 4 + 9 + 36 \\ = 49 \\ > 16 \end{array}$
  
  よって、問題の球面と平面は交わらない。
  
  （証明終）
3. P とも面の距離の最小値は
  
  $\sqrt{49} - \sqrt{16} = 3$
  
  点 P は CD を
  
  $4 : 3$
  
  に内分する点.なので、その座標は
  
  $\frac{3 (3, - 1, 7) + 4 (1, 2, 1)}{4 + 3} = \frac{1}{7} (13, 5, 25)$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import sqrt from sympy.plotting import plot3d from sympy.abc import x, y print('46.') p = plot3d( *[s * sqrt(16 - (x - 3) ** 2 - (y + 1) ** 2) + 7 for s in [-1, 1]], -(2 * x - 3 * y - 2) / 6, (x, -7.5, 10), (y, -7.5, 10), show=False) p.save(f'sample46.png') p.show()

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2020年6月25日木曜日

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