数学 - Pytyhon - 解析学 - ベクトル - 平面 - 3点を通る平面の方程式

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、6(平面)の練習問題8の解答を求めてみる。

1. $(a, b, c)$
  
  を求める平面の法線ベクトルの1つとする。
  
  このとき、
  
  $\begin{array}{l} (3, - 1, 1) - (2, 1, 1) = (1, - 2, 0) \\ (4, 1, - 1) - (2, 1, 1) = (2, 0, - 2) \end{array}$
  
  と法線ベクトルは垂直なので、
  
  $\begin{array}{l} a - 2 b = 0 \\ a - c = 0 \\ a = 2 b \\ c = a = 2 b \end{array}$
  
  よって、法線ベクトルの1つは
  
  $(2, 1, 2)$
  
  よって求める平面の方程式は
  
  $\begin{array}{l} 2 (x - 2) + (y - 1) + 2 (z - 1) = 0 \\ 2 x + y + 2 z - 7 = 0 \end{array}$
2. 求める平面の方程式を
  
  $x + a y + b z + c = 0$
  
  とおく。
  
  ${\begin{cases} - 2 + 3 a - b + c = 0 \\ 2 + 2 a + 3 b + c = 0 \\ - 4 - a + b + c = 0 \end{cases}$
  
  $\begin{array}{l} - 4 + a - 4 b = 0 \\ 2 + 4 a - 2 b = 0 \end{array}$
  
  $\begin{array}{l} 1 + 2 a - b = 0 \\ - 8 + 2 a - 8 b = 0 \end{array}$
  
  $\begin{array}{l} 9 + 7 b = 0 \\ b = - \frac{9}{7} \end{array}$
  
  $\begin{array}{l} - 4 + a + \frac{36}{7} = 0 \\ a = - \frac{8}{7} \end{array}$
  
  $c = 4 - \frac{8}{7} + \frac{9}{7} = \frac{29}{7}$
  
  $7 x - 8 y - 9 z + 29 = 0$
3. $\begin{array}{l} - 5 - a + 2 b + c = 0 \\ 1 + 2 a - b + c = 0 \\ 3 - a + 2 b + c = 0 \end{array}$
  
  $8 \neq 0$
  
  $a y + b z + c = 0$
  
  ${\begin{cases} - a + 2 b + c = 0 \\ 2 a - b + c = 0 \\ - a + 2 b + c = 0 \end{cases}$
  
  $\begin{array}{l} 2 a - b = - a + 2 b \\ 3 a = 3 b \\ a = b \end{array}$
  
  $c = - a$
  
  $y + z - 1 = 0$

#!/usr/bin/env python3 from sympy.plotting import plot3d from sympy.abc import x, y print('8.') p = plot3d(-(2 * x + y - 7) / 2, (x, -5, 5), (y, -5, 5), show=True) p.save('sample8.png')

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2020年6月25日木曜日

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