数学 - 代数学 - 不等式 - 3つの異なる濃度の食塩水を混ぜる場合

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)の練習問題3.の解答を求めてみる。

3. 
   

   3%の食塩水を x グラム、5%の食塩水を y グラム、 8%の食塩水を z グラム混ぜるとすると、

   $\{\begin{array}{l}x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\\ x+y+z=1000\\ \frac{3}{100}x+\frac{5}{100}y+\frac{8}{100}z=62\end{array}$

   $y=1000-(x+z)$

   $3x+5(1000-x-z)+8z=6200$

   $-2x+3z=1200$

   $z=\frac{2x+1200}{3}$

   $z=1000-(x+y)$

   $3x+5y+8(1000-x-y)=6200$

   $-5x-3y=-1800$

   $y=\frac{-5x+1800}{3}$

   よって、

   $x\le \frac{1800}{5}=360$

   すなわち5%の食塩水を高々360グラム用いてよい。

   $x=1000-(y+z)$

   $3(1000-y-z)+5y+8z=6200$

   $2y+5z=3200$

   $y=\frac{-5z+3200}{2}$

   $y=1000-(x+z)$

   $3x+5(1000-x-z)+8z=6200$

   $-2x+3z=1200$

   $x=\frac{3z-1200}{2}$

   よって、

   $\{\begin{array}{l}-5z+3200\ge 0\\ 3z-1200\ge 0\end{array}$

   $400\le z\le 640$