2020年7月16日木曜日

学習環境

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題4の解答を求めてみる。



    1. A X

      が X の密集合の場合。

      U を X の空でない 開集合とすると、 U の任意の元x に対してある正の整数

      δ > 0

      が存在して、

      B ( x ; δ ) U
      B ( x ; δ ) X ϕ
      B ( x ; δ ) A - ϕ
      B ( x ; δ ) A ϕ

      よって、

      U A ϕ

      逆について。

      x を X の任を a 元とする。

      任意の正の整数

      ε > 0

      に対して、

      B ( x ; ε )

      は開集合なので、仮定より

      B ( x ; ε ) A ϕ

      よって、 では A の触点である。

      ゆえに、

      X A -

      また、

      A - X

      でもあるので、

      A - = X

      すなわち A は X の密部分集合である。

      (証明終)


    2. n

      は ユークリッド空間の たかだか可算な部分集合である。

      U を空でない

      n

      の開集合 とするとき、 U の任意の元 x に対してある正の実数

      δ > 0

      が存在して、

      B ( x ; δ ) U

      また、

      B ( x ; δ ) n ϕ

      よって、

      n

      は X の密部分集合である。

      ゆえに、ユークリッド空間

      n

      は可分である。

      (証明終)

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