学習環境
- Surface
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題4の解答を求めてみる。
が X の密集合の場合。
U を X の空でない 開集合とすると、 U の任意の元x に対してある正の整数
が存在して、
よって、
逆について。
x を X の任を a 元とする。
任意の正の整数
に対して、
は開集合なので、仮定より
よって、 では A の触点である。
ゆえに、
また、
でもあるので、
すなわち A は X の密部分集合である。
(証明終)
は ユークリッド空間の たかだか可算な部分集合である。
U を空でない
の開集合 とするとき、 U の任意の元 x に対してある正の実数
が存在して、
また、
よって、
は X の密部分集合である。
ゆえに、ユークリッド空間
は可分である。
(証明終)
0 コメント:
コメントを投稿