数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 開集合系の基底、可分な距離空間、加算基底、可算密部分集合、有理数、階級全体の集合

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   A と X の可算密部分集合とする。

   A の各点を中心とする有理数半径の開球全体の集合を Bとする。

   U を X の任意の空でない開集合、 a を U の任意の元とする。

   このとき、 ある正の実数

   $\delta >0$

   が存在して、

   $B(a;\delta )\subset U$

   が成り立つ。

   A は密なので、

   $B(a;\frac{\delta }{2})\cap A\ne \varphi$

   b をこの共通部分の元とする。

   $b\in B(a;\frac{\delta }{2})\cap A$

   このとき、 c を

   $d(a,b)<c<\frac{\delta }{2}$

   を満たす 有理数とすれば、

   $a\in B(b;c)\subset B(a,\delta )\subset U,B(b;c)\in B$

   よって、 B は X の基底である。

   また、 B は可算なので、 B は X の可算基底である。

   （証明終）