数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 部分集合間の距離、下限、閉集合、非零

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題8の解答を求めてみる。

8. 
   
   1. 
      

      z を B の任意の 元とすると、

      $d(x,B)\le d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

      $d(x,B)-d(x,y)\le d(y,z)$

      $d(x,B)-d(x,y)\le d(y,B)$

      $d(x,B)-d(y,B)\le d(x,y)$

      同様にして、

      $d(y,B)-d(x,B)\le d(y,x)=d(x,y)$

      よって、

      $-d(x,y)\le d(x,B)-d(y,B)$

      ゆえに、

      $|d(x,B)-d(y,B)|\le d(x,y)$

      （証明終）

   2. 
      
      $\begin{array}{l}f:A\to \text{ℝ}\\ f\left(x\right)=d(x,B)\end{array}$

      とすれは、 f は連続で、 A はコンパクトなので最小点をもち、その点を

      $x_0$

      とすれば

      $d(x_0,B)=d(A,B)$

      （証明終）

   3. 
      
      $\begin{array}{l}d(x_0,B)=d(A,B)\\ x_0\in A\end{array}$

      で、 問題の仮定より

      $A\cap B\ne \varphi$

      なので、

      $x_0\notin B$

      また、 B は閉集合なので、

      $d(A,B)>0$

      である。

      （証明終）

   4. 
      
      $A=\{(x,0)\in {\text{ℝ}}^2|x\in \text{ℝ}\}$
      $B=\{(x,\frac{1}{x})\in {\text{ℝ}}^2|x\in \text{ℝ}\}$

      とおけば、 A と B は閉集合で、

      $A\cap B=\varphi$

      かつ

      $d(A,B)=0$

      である。

      なのでいえない。

      （証明例