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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題8の解答を求めてみる。
z を B の任意の 元とすると、
同様にして、
よって、
ゆえに、
(証明終)
とすれは、 f は連続で、 A はコンパクトなので最小点をもち、その点を
とすれば
(証明終)
で、 問題の仮定より
なので、
また、 B は閉集合なので、
である。
(証明終)
とおけば、 A と B は閉集合で、
かつ
である。
なのでいえない。
(証明例
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