数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 閉集合の族、有限個、無限個、共通部分、空集合、和集合、開被覆、有限被覆、補集合、ド・モルガンの法則

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\cap \lambda \in \Lambda F_{\lambda }=\varphi$

   と仮定する。

   このとき 、

   $X={(\cap \lambda \in \Lambda F_{\lambda })}^c=U_{\lambda \in \Lambda }{F}_{\lambda }^c$

   また、 問題の仮定より、

   $F_{\lambda }^c$

   は開集合なので、

   $U_{\lambda \in \Lambda }{F}_{\lambda }^c$

   は X の開被覆である。

   また X はコンパクトなので この開被覆は有限複覆を含む。

   それを、

   $F_{{\lambda }_1}^c\cup \dots \cup F_{{\lambda }_n}^c=X$

   とおくと、

   ${(F_{{\lambda }_1}^c\cup \dots \cup F_{{\lambda }_n}^c)}^c=\varphi$

   $F_{{\lambda }_1}\cap \dots \cap F_{{\lambda }_n}=\varphi$

   これは問題の仮定と矛盾。

   よって、

   $\cap \lambda \in \Lambda F_{\lambda }\ne \varphi$

   である。

   （証明終）