数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 実数全体の集合、有理数の集合、コンパクトではない有界閉集合、閉包、極限、距離

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $A=\{x\in \text{ℚ}|x^2<2\}\subset \{x\in \text{ℚ}|x<2\}$

   よって、 A は有理数全体の集合において有界である。

   また、 x を A の閉包の任意の元とする。

   x が A の元で はないと仮定すると、

   $B(x;\min \{|x-\sqrt{2}|,|x+\sqrt{2}|\})\cap A=\varphi$

   これは、 x が A の 閉包であるという仮定と矛盾。

   よって、 x は A の元である。

   ゆえに、

   $\stackrel{-}{A}=A$

   すなわち A は閉集合である。

   $\begin{array}{l}{a}_n\in (\frac{1}{n},\sqrt{2})\\ a_n\in \text{ℚ}\\ {\left(a_n\right)}_{n\in \text{ℤ}}\end{array}$

   という A の 点列 と考えると、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\sqrt{2}\notin \text{ℚ}$

   よって 極限は A の元ではない。

   ゆえに、 A はコンパクトではない。

   $d(a,A)=d(a,x_0)$

   ならば、

   $x_0=\sqrt{2}$

   または

   $x_0=-\sqrt{2}$

   よって、

   $x_0\notin \text{ℚ}$

   ゆえに

   $d(a,A)=d(a,x_0)$

   となる A の 点

   $x_0\in A$

   は存在しない。

   （証明終）