数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - ただ一つの固定点をもつための十分条件、連続、最小点

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}g:X\to \text{ℝ}\\ g\left(x\right)=d(x,f\left(x\right))\end{array}$

    とおく。

    このとき、 X の任意の元 x 、 y に対して、

    $g\left(x\right)$

    $=d(x,f\left(x\right))$

    $\le d(x,y)+d(y,f\left(y\right))+d(f\left(y\right),f\left(x\right))$

    $<d(x,y)+g\left(y\right)+d(y,x)$

    $<2d(x,y)+g\left(y\right)$

    よって

    $g\left(x\right)-g\left(y\right)<2d(x,y)$

    同様に、

    $g\left(y\right)-g\left(x\right)<2d(x,y)$

    ゆえに

    $|g\left(x\right)-g\left(y\right)|<d(x,y)$

    よって、 g は連続である。

    また、 X はコンパクトなので、最小値をとる X の元 aが存在する。

    a について、

    $f\left(a\right)\ne a$

    と仮定すると、

    $g\left(f\left(a\right)\right)$

    $=d(f\left(a\right),f\left(f\left(a\right)\right))$

    $<d(a,f\left(a\right))$

    $=g\left(a\right)$

    これは、 g が a で最小ということと矛盾。

    よって、

    $f\left(a\right)=a$

    よって a は固定点である。

    b も f の固定点とし 、 a と異なると仮定する。
    このとき、

    $d(a,b)$

    $=d(f\left(a\right),f\left(b\right))$

    $<d(a,b)$

    となり矛盾。

    よって、

    $a=b$

    ゆえに、 f はただ1つの固定点をもつ。

    （証明終）