数学 - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 実数の上の有限次元ベクトル空間、互いに垂直なノルム1の元の集合、基底、一次結合、一次独立

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題9の解答を求めてみる。

9. 
   

   V の正規直交基底を

   $\{v_1,\dots ,v_m,w_1,\dots ,w_n\}$

   とする。

   v を V の任意の元とし

   $v=\sum _{k=1}^m{a}_k{v}_k+\sum _{l=1}^n{b}_l{w}_l$

   とおく。

   問題の仮定より、

   ${\parallel v\parallel }^2=\sum _{i=1}^m{⟨v,v_i⟩}^2$

   ${\parallel v\parallel }^2=\sum _{i=1}^m(a_i^2{\parallel v_i\parallel }^2+{⟨\sum _{l=1}^n{b}_l{w}_l,v_i⟩}^2)$

   ${\parallel v\parallel }^2=\sum _{i=1}^m(a_i^2{\parallel v_i\parallel }^2+{(\sum _{l=1}^n{b}_l⟨w_l,v_i⟩)}^2)$

   ${\parallel v\parallel }^2=\sum _{i=1}^m\left(a_i^2{\parallel v_i\parallel }^2\right)$

   よって、

   $n=0$

   なので、

   $\{v_1,\dots ,v_m\}$

   は V の基底である。

   （証明終）