数学 - 放物線・だ円・双曲線 - 2次関数 - 2次曲線と直線 - だ円・双曲線と直線 - 焦点、接線、接点、角

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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(放物線・だ円・双曲線 - 2次関数)、12.2(2次曲線と直線)、だ円・双曲線と直線の問23の解答を求めてみる。

23. 
    

    問題のだ円の 2焦点を

    $F=(c,0),F\text{'}=(-c,0)$

    とおく。

    P が座標軸、 x 軸、 y 軸 t にある場合は接線 l と等しい角をなす。

    P が第1象限にある場合。

    $PF,PF\text{'}$

    が接線 l となす角の鋭角ををそれぞれ

    $\theta ,\theta \text{'}$

    とおく。

    直接

    $l,PF,PF\text{'}$

    の傾きをそれぞれ

    $m,n,n\text{'}$

    とおく。

    このとき、 接線は

    $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

    なので、

    $m=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$

    また、

    $\begin{array}{l}{x}_0\ne c\\ n=\frac{y_0}{x_0-c},n\text{'}=\frac{y_0}{x_0+c}\end{array}$

    角 の正接について、

    $\tan \theta$

    $=\left|\frac{n-m}{1+nm}\right|$

    $=|(\frac{y_0}{x_0-c}+\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0})·\frac{1}{1+\frac{y_0}{x_0-c}(-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0})}|$

    $=|\frac{a^2{y}_0^2+b^2{x}_0^2-b^{2}c{x}_0}{a^2{x}_0{y}_0-a^{2}c{y}_0}·\frac{a^2{x}_0{y}_0-a^{2}c{y}_0}{a^2{x}_0{y}_0-a^{2}c{y}_0-b^2{x}_0{y}_0}|$

    $=\left|\frac{a^2{y}_0^2+b^2{x}_0^2-b^{2}c{x}_0}{a^2{x}_0{y}_0-a^{2}c{y}_0-b^2{x}_0{y}_0}\right|$

    $=\left|\frac{a^2{b}^2-b^{2}c{x}_0}{y_0(a^2{x}_0-a^{2}c-b^2{x}_0)}\right|$

    $=\left|\frac{b^2(a^2-c{x}_0)}{y_0((b^2+c^2)x_0-a^{2}c-b^2{x}_0)}\right|$

    $=\frac{b^2}{y_0}\left|\frac{a^2-c{x}_0}{c^2{x}_0-a^{2}c}\right|$

    $=\frac{b^2}{y_{0}c}$

    また、

    $x_0=c$

    のとき、

    $\tan \theta =\frac{b^{2}c}{a^2{y}_0}$

    同様にして、

    $\begin{array}{l}{x}_0\ne c\\ \tan \theta \text{'}=\frac{b^2}{c{y}_0}\end{array}$

    $\begin{array}{l}x=c\\ \tan \theta \text{'}=\frac{b^{2}c}{a^2{y}_0}\end{array}$

    よって、

    $\theta =\theta \text{'}$

    第2、3、4象限も同様にして、

    $\theta =\theta \text{'}$

    （証明終）