数学 - Python - 代数学 - 不等式 - 不等式の証明 - 正の数に関する絶対不等式 - 平方の大小、差の平方と平方の差の大小、絶対値

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)、3(不等式の証明)、正の数に関する絶対不等式、問25、26、27の解答を求めてみる。

25. 
    
    ${\left(\sqrt{a-b}\right)}^2-{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2$

    $=a-b-a-b+2\sqrt{ab}$

    $=-2b+2\sqrt{ab}$

    $>-2b+2\sqrt{b^2}$

    $=0$

    よって、

    ${\left(\sqrt{a-b}\right)}^2>{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2$

    $\sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}$

    ゆえに、

    $\sqrt{a-b}$

    のほうが大きい。

26. 
    
    ${\left(\sqrt{a+b}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}\right)}^2$
    $=a+b-\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{2}$
    $=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}$
    $=\frac{{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2}{2}$
    $\ge 0$

    よって、

    ${\left(\sqrt{a+b}\right)}^2\ge {\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}\right)}^2$
    $\sqrt{a+b}\ge \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}$
27. 
    
    ${|x+y|}^2-{(\left|x\right|-\left|y\right|)}^2$
    $={(x+y)}^2-x^2-y^2+2\left|xy\right|$
    $=2(\left|xy\right|+xy)$
    $\ge 0$

    よって、

    ${(\left|x\right|-\left|y\right|)}^2\le {|x+y|}^2$
    $\left|x\right|-\left|y\right|\le |x+y|$

    （証明終）