数学 - Python - 代数学 - 不等式 - 不等式の証明 - 4次式、絶対不等式、非負、平方、式の変形、対称式

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)、3(不等式の証明)、問20の解答を求めてみる。

$(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}) - {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3})}^{2}$

$= a_{1}^{2} b_{2}^{2} + a_{1}^{2} b_{3}^{2} + a_{2}^{2} b_{1}^{2} + a_{2}^{2} b_{3}^{2} + a_{3}^{2} b_{1}^{2} + a_{3}^{2} b_{2}^{2} - 2 (a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} + a_{1} a_{3} b_{1} b_{3} + a_{2} a_{3} h_{2} b_{3})$

$= {(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})}^{2} + {(a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2})}^{2} + {(a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3})}^{2}$

$\geq 0$

よって例題13の不等式は成り立つ。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols

print('20.')
a1, a2, a3 = symbols('a:3')
b1, b2, b3 = symbols('b:3')


class Test(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(
            (
                sum([o ** 2 for o in [a1, a2, a3]]) *
                sum([o ** 2 for o in [b1, b2, b3]]) -
                sum([ai * bi
                     for ai, bi in zip([a1, a2, a3], [b1, b2, b3])]) ** 2
            ).expand(),
            (
                (a1 * b2 - a2 * b1) ** 2 +
                (a2 * b3 - a3 * b2) ** 2 +
                (a3 * b1 - a1 * b3) ** 2
            ).expand()
        )


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

 % ./sample20.py -v
20.
test (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.054s

OK
%

Kamimura's blog

2020年7月13日月曜日

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