数学 - Python - 代数学 - 不等式 - 不等式の証明 - 非負、平方、判別式、等号が成り立つ場合

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)、3(不等式の証明)、問18の解答を求めてみる。

1. $a^{2} - 3 a b + 4 b^{2}$
  
  $= {(a - \frac{3}{2} b)}^{2} - \frac{9}{4} b^{2} + 4 b^{2}$
  
  $= {(a - \frac{3}{2} b)}^{2} + \frac{5}{4} b^{2} \geq 0$
  
  等号が成り立つのは、
  
  $a = \frac{3}{2} b \land \frac{5}{4} b^{2} = 0$
  
  $a = b = 0$
  
  の場合。
2. $x^{2} + y^{2} - (4 x - 6 y - 13)$
  
  $= {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} \geq 0$
  
  等号が成り立つ場合。
  
  $x = 2 \land y = - 3$
3. $b^{2} + 2 (1 - a) b + 2 a^{2} - 6 a + 5$
  
  ${(1 - a)}^{2} - (2 a^{2} - 6 a + 5)$
  
  $= - a^{2} + 4 a - 4$
  
  $= - {(a - 2)}^{2} \leq 0$
  
  よって、
  
  $b^{2} + 2 (1 - a) b + 2 a^{2} - 6 a + 5 \geq 0$
  
  等号が成り立つ場合。
  
  $a = 2$
  
  $b^{2} - 2 b + 1 = {(b - 1)}^{2}$
  
  よって、
  
  $a = 2 \land b = 1$
4. $a^{4} + b^{4} - (a^{3} b + a b^{3})$
  
  $= a^{3} (a - b) + b^{3} (b - a)$
  
  $= (a^{3} - b^{3}) (a - b)$
  
  $= (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) (a - b)$
  
  $= {(a - b)}^{2} (a^{2} + a b + b^{2})$
  
  $b^{2} - 4 b^{2} \leq 0$
  
  よって、
  
  $a^{4} + b^{4} = a^{3} b + a b^{3}$
  
  等号が成り立つ場合。
  
  $a = b$

#!/usr/bin/env python3 from sympy.plotting import plot3d from sympy.abc import x, y print('18.') fss = [(x ** 2 - 3 * x * y + 4 * y ** 2, ), (x ** 2 + y ** 2, 4 * x - 6 * y - 13), (2 * x ** 2 - 2 * x * y + y ** 2 - 6 * x + 2 * y + 5, ), (x ** 4 + y ** 4, x ** 3 * y + x * y ** 3)] colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for i, fs in enumerate(fss, 1): print(f'({i})') p = plot3d(*fs, (x, -10, 10), (y, -10, 10), show=False) p.xlabel = x p.ylabel = y for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.save(f'sample18_{i}.png') p.show()

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2020年7月11日土曜日

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