数学 - Python - 代数学 - 不等式 - 解、絶対値、符号、場合分け

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)の練習問題1.の解答を求めてみる。

1. $2 x + 4 \leq 0$
  
  $x \leq - 2$
  
  の場合、
  
  $- 2 x - 4 \geq x$
  
  $x \leq - \frac{4}{3}$
  
  よって、
  
  $x \leq - 2$
  
  $x \geq - 2$
  
  の場合、
  
  $2 x + 4 \geq x$
  
  $x \geq - 4$
  
  よって、
  
  $x \geq - 2$
  
  ゆえに、求める不等式の解は実数全体の集合。
2. $x \leq 0$
  
  のとき、
  
  $- x + x - 1 < \frac{1}{2}$
  
  $- 1 < \frac{1}{2}$
  
  $0 \leq x \leq 1$
  
  のとき、
  
  $x + x - 1 < \frac{1}{2}$
  
  $2 x < \frac{3}{2}$
  
  $x < \frac{3}{4}$
  
  よって、
  
  $0 \leq x < \frac{3}{4}$
  
  $x \geq 1$
  
  のとき、
  
  $x - x + 1 < \frac{1}{2}$
  
  $1 < \frac{1}{2}$
  
  よって解はない。
  
  ゆえに、
  
  $x < \frac{3}{4}$
3. $x \leq - 1$
  
  のとき、
  
  $- x - 1 \leq - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$
  
  $\frac{1}{2} x \geq - \frac{3}{2}$
  
  $x \geq - 3$
  
  よって
  
  $- 3 \leq x \leq - 1$
  
  $- 1 \leq x \leq 2$
  
  のとき、
  
  $x + 1 \leq - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$
  
  $\frac{3}{2} x \leq - \frac{1}{2}$
  
  $x \leq - \frac{1}{3}$
  
  よって、
  
  $- 1 \leq x \leq - \frac{1}{3}$
  
  $x \geq 2$
  
  のとき、
  
  $x + 1 \leq \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$
  
  $\frac{1}{2} x \leq - \frac{3}{2}$
  
  $x \leq - 3$
  
  よって解はない。
  
  ゆえに、
  
  $- 3 \leq x \leq - \frac{1}{3}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import Rational, pprint, plot from sympy.abc import x from sympy.solvers.inequalities import reduce_inequalities print('1.') exprs = [ abs(2 * x + 4) >= x, abs(x) - abs(x - 1) < Rational(1, 2), abs(x + 1) <= abs(x / 2 - Rational(1, 2)) ] for i, expr in enumerate(exprs, 1): print(f'({i})') pprint(reduce_inequalities([expr], x)) p = plot(abs(2 * x + 4), x, abs(x) - abs(x - 1), Rational(1, 2), abs(x + 1), abs(x / 2 - Rational(1, 2)), (x, -5, 5), ylim=(-5, 5), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.save('sample1.png') p.show()

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2020年7月21日火曜日

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