2020年7月21日火曜日


代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)の練習問題1.の解答を求めてみる。



    1. 2 x + 4 ≤ 0
      x ≤ - 2

      の場合、

      - 2 x - 4 ≥ x
      x ≤ - 4 3

      よって、

      x ≤ - 2
      x ≥ - 2

      の場合、

      2 x + 4 ≥ x
      x ≥ - 4

      よって、

      x ≥ - 2

      ゆえに、 求める不等式の解は実数全体の集合。


    2. x ≤ 0

      のとき、

      - x + x - 1 < 1 2
      - 1 < 1 2
      0 ≤ x ≤ 1

      のとき、

      x + x - 1 < 1 2
      2 x < 3 2
      x < 3 4

      よって、

      0 ≤ x < 3 4
      x ≥ 1

      のとき、

      x - x + 1 < 1 2
      1 < 1 2

      よって解はない。

      ゆえに、

      x < 3 4

    3. x ≤ - 1

      のとき、

      - x - 1 ≤ - 1 2 x + 1 2
      1 2 x ≥ - 3 2
      x ≥ - 3

      よって

      - 3 ≤ x ≤ - 1
      - 1 ≤ x ≤ 2

      のとき、

      x + 1 ≤ - 1 2 x + 1 2
      3 2 x ≤ - 1 2
      x ≤ - 1 3

      よって、

      - 1 ≤ x ≤ - 1 3
      x ≥ 2

      のとき、

      x + 1 ≤ 1 2 x - 1 2
      1 2 x ≤ - 3 2
      x ≤ - 3

      よって解はない。

      ゆえに、

      - 3 ≤ x ≤ - 1 3

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import Rational, pprint, plot
from sympy.abc import x
from sympy.solvers.inequalities import reduce_inequalities

print('1.')

exprs = [
    abs(2 * x + 4) >= x,
    abs(x) - abs(x - 1) < Rational(1, 2),
    abs(x + 1) <= abs(x / 2 - Rational(1, 2))
]
for i, expr in enumerate(exprs, 1):
    print(f'({i})')
    pprint(reduce_inequalities([expr], x))

p = plot(abs(2 * x + 4),
         x,
         abs(x) - abs(x - 1),
         Rational(1, 2),
         abs(x + 1),
         abs(x / 2 - Rational(1, 2)),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.save('sample1.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py
1.
(1)
-∞ < x ∧ x < ∞
(2)
-∞ < x ∧ x < 3/4
(3)
-3 ≤ x ∧ x ≤ -1/3
%
時刻: 14:00 ラベル: , , , ,

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