数学 - Python - 解析学 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 円、位置ベクトルと加速度ベクトル、向き

2020年7月20日月曜日

数学 - Python - 解析学 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 円、位置ベクトルと加速度ベクトル、向き

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

学習環境

続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第2章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題6の解答を求めてみる。

1. $\frac{d^{2}}{{dt}^{2}} (\cos t, \sin t)$
  
  $= \frac{d}{dt} (- \sin t, \cos t)$
  
  $= (- \cos t, - \sin t)$
  
  $= - (\cos t, \sin t)$
  
  よって、加速度ベクトルは位置ベクトルと反対の向きをもつ。
2. $\frac{d^{2}}{{dt}^{2}} (\cos 3 t, \sin 3 t)$
  
  $= \frac{d}{dt} (- 3 \sin 3 t, 3 \cos 3 t)$
  
  $= (- 9 \cos 3 t, - 9 \sin 3 t)$
  
  $= - 9 (\cos 3 t, \sin 3 t)$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix, sin, cos, exp, log, Derivative
from sympy.abc import t
from sympy.plotting import plot_parametric

print('6.')


class Test(TestCase):
    def test3(self):
        a = Matrix([cos(t), sin(t)])
        self.assertEqual(Derivative(a, t, 2).doit(), -a)

    def test4(self):
        a = Matrix([cos(3 * t), sin(3 * t)])
        self.assertEqual(Derivative(a, t, 2).doit(), -9 * a)


p = plot_parametric(
    (cos(t), sin(t), (t, -5, 5)),
    *[(cos(t0) + t * (-cos(t0)),
       sin(t0) + t * (-sin(t0)),
       (t, 0, 1))
      for t0 in range(-5, 6)],
    legend=False,
    show=False
)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.save('sample6.png')
p.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py -v
6.
test3 (__main__.Test) ... ok
test4 (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.011s

OK
%

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