数学 - Python - 解析学 - ベクトル - ベクトル積 - 微分可能な曲線、ベクトル積の微分、座標

続 解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

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続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、7(ベクトル積)の練習問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\frac{d(X\left(t\right)\times Y\left(t\right))}{\mathrm{dt}}$

    $=\frac{d((x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),x_3\left(t\right))\times (y_1\left(t\right),y_2\left(t\right),y_3\left(t\right)))}{\mathrm{dt}}$

    $=\frac{d(x_2\left(t\right)y_3\left(t\right)-x_3\left(t\right)y_2\left(t\right),x_3\left(t\right)y_1\left(t\right)-x_1\left(t\right)y_3\left(t\right),x_1\left(t\right)y_2\left(t\right)-x_2\left(t\right)y_1\left(t\right))}{\mathrm{dt}}$

    $\begin{array}{l}=(\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}}{y}_3+x_2\frac{{\mathrm{dy}}_3}{\mathrm{dt}}-\frac{{\mathrm{dx}}_3}{\mathrm{dt}}{y}_2-x_3\frac{{\mathrm{dy}}_2}{\mathrm{dt}},\\ \frac{{\mathrm{dx}}_3}{\mathrm{dt}}{y}_1+x_3\frac{{\mathrm{dy}}_1}{\mathrm{dt}}-\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}{y}_3-x_1\frac{{\mathrm{dy}}_3}{\mathrm{dt}},\\ \frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}}{y}_2+x_1\frac{{\mathrm{dy}}_2}{\mathrm{dt}}-\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}}{y}_1-x_2\frac{{\mathrm{dy}}_1}{\mathrm{dt}})\end{array}$

    $=X\left(t\right)\times \frac{dY\left(t\right)}{\mathrm{dt}}+\frac{dX\left(t\right)}{\mathrm{dt}}\times Y\left(t\right)$

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix, Function, Derivative
from sympy.abc import t

print('10.')

x = Matrix([Function(f'x{i}')(t) for i in range(1, 4)])
y = Matrix([Function(f'y{i}')(t) for i in range(1, 4)])


class Test(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(
            Derivative(x.cross(y), t, 1).doit(),
            x.cross(Derivative(y, t, 1).doit()) +
            Derivative(x, t, 1).doit().cross(y)
        )


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample10.py -v  
10.
test (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.047s

OK
%