数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 複素数、エルミート積、ノルム、累乗、正規直交基底、射影

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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題6の解答を求めてみる。

1. 直交基底。
  
  $(1, i, 0)$
  
  $(1, 1, 1) - \frac{(1, 1, 1) \cdot (1, i, 0)}{(1, i, 0) \cdot (1, i, 0)} (1, i, 0)$
  
  $= (1, 1, 1) - \frac{1 - i}{2} (1, i, 0)$
  
  $= \frac{1}{2} (1 + i, 1 - i, 2)$
  
  正規直交基底。
  
  $\frac{(1, i, 0)}{∥ (1, i, 0) ∥} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, i, 0)$
  
  $\frac{(1 + i, 1 - i, 2)}{∥ (1 + i, 1 - i, 2) ∥} = \frac{1}{\sqrt{2 + 2 + 4}} (1 + i, 1 - i, 2) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (1 + i, 1 - i, 2)$
2. 直交基底。
  
  $(1, - 1, - i)$
  
  $(i, 1, 2) - \frac{(i, 1, - 2) \cdot (1, - 1, - i)}{(1, - 1, - i) \cdot (1, - 1, - i)} (1, - 1, - i)$
  
  $= (i, 1, 2) - \frac{i - 1 + 2 i}{1 + 1 + 1} (1, - 1, - i)$
  
  $= (i, 1, 2) + \frac{1 - 3 i}{3} (1, - 1, - i)$
  
  $= \frac{1}{3} (1, 2 + 3 i, 3 - i)$
  
  正規直交基底。
  
  $\frac{(1, - 1, - i)}{∥ (1, - 1, - i) ∥} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, - 1, - i)$
  
  $\frac{(1, 2 + 3 i, 3 - i)}{∥ (1, 2 + 3 i, 3 - i) ∥} = \frac{1}{\sqrt{1 + 13 + 10}} (1, 2 + 3 i, 3 - i) = \frac{1}{2 \sqrt{6}} (1, 2 + 3 i, 3 - i)$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import Matrix, I, sqrt print('6.') class Test(TestCase): def test_a(self): u = Matrix([1, I, 0]) / sqrt(2) v = Matrix([1 + I, 1 - I, 2]) / (2 * sqrt(2)) for o in [u, v]: self.assertEqual(o.norm(), 1) self.assertEqual(u.dot(v.conjugate()).expand(), 0) def test_b(self): u = Matrix([1, -1, -I]) / sqrt(3) v = Matrix([1, 2 + 3 * I, 3 - I]) / (2 * sqrt(6)) for o in [u, v]: self.assertEqual(o.norm(), 1) self.assertEqual(u.dot(v.conjugate()).expand(), 0) if __name__ == "__main__": main()

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2020年7月12日日曜日

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