数学 - Python - 放物線・だ円・双曲線 - 2次関数 - 放物線・だ円・双曲線 - だ円 - 頂点、焦点間の距離、長軸、短軸、長さ、距離の和、一定

学習環境

新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第12章(放物線・だ円・双曲線 - 2次関数)、12.1(放物線・だ円・双曲線)、だ円の問5の解答を求めてみる。

1. $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$
2. $\frac{x^{2}}{{(\frac{4}{2})}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(\frac{4}{2})}^{2} - {(\frac{2 \sqrt{3}}{2})}^{2}} = 1$
  
  $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$
3. 焦点間の距離が 4で長軸は4軸上にあるので、焦点は
  
  $(- 2, 0), (2, 0)$
  
  短軸の長さを2b とすると、問題の仮定より長軸の長さは
  
  $2 a = 2 \sqrt{2} b$
  
  また、
  
  $b = \sqrt{a^{2} - 2^{2}} = \sqrt{a^{2} - 4}$
  
  よって、
  
  $b = \sqrt{2 b^{2} - 4}$
  
  $b^{2} = 2 b^{2} - 4$
  
  $b^{2} = 4$
  
  $b = 2$
  
  $a = 2 \sqrt{2}$
  
  ゆえに求める楕円の方程式は
  
  $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$
4. 楕円上の点（1，-2）から2焦点までの距離の和は
  
  $\sqrt{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}} + \sqrt{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$
  
  $= \sqrt{1 + 4 + 3 + 4 \sqrt{3}} + \sqrt{1 + 4 + 3 - 4 \sqrt{3}}$
  
  $= \sqrt{8 + 4 \sqrt{3}} + \sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}$
  
  $= 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$
  
  $= 2 (\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}})$
  
  よって、求める楕円の方程式は
  
  $\sqrt{x^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2}} + \sqrt{x^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2}} = 2 (\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}})$
  
  $2 x^{2} + 2 y^{2} + 6 + 2 \sqrt{(x^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2}) (x^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2})} = 4 (4 + 2)$
  
  $x^{2} + y^{2} + \sqrt{x^{4} + ({(y - \sqrt{3})}^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2}) x^{2} + {(y^{2} - 3)}^{2}} = 9$
  
  $x^{2} + y^{2} + \sqrt{x^{4} + (2 y^{2} + 6) x^{2} + {(y^{2} - 3)}^{2}} = 9$
  
  $x^{4} + 2 (y^{2} + 3) x^{2} + {(y^{2} - 3)}^{2} = {(9 - x^{2} - y^{2})}^{2}$
  
  $x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + 6 x^{2} + y^{4} - 6 y^{2} + 9 = 81 - 18 (x^{2} + y^{2}) + x^{4} + y^{4} + 2 x^{2} y^{2}$
  
  $24 x^{2} + 12 y^{2} = 72$
  
  $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{6} = 1$

#!/usr/bin/env python3 from sympy import plot, solve from sympy.abc import x, y print('5.') eqs = [ x ** 2 + y ** 2 / 2 - 1, x ** 2 / 4 + y ** 2 - 1, x ** 2 / 8 + y ** 2 / 4 - 1, x ** 2 / 3 + y ** 2 / 6 - 1, ] ys = [] for eq in eqs: ys += solve(eq, y) p = plot(*ys, (x, -3, 3), ylim=(-3, 3), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.save('sample5.png') p.show()

Kamimura's blog

2020年7月4日土曜日

数学 - Python - 放物線・だ円・双曲線 - 2次関数 - 放物線・だ円・双曲線 - だ円 - 頂点、焦点間の距離、長軸、短軸、長さ、距離の和、一定

0 コメント:

コメントを投稿