数学 - Python - 放物線・だ円・双曲線 - 2次関数 - 2次曲線と直線 - 放物線と直線 - 準線上の点を通る2つの接線、直交、判別式、解と係数の関係、直線の傾き

新装版 数学読本3
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(放物線・だ円・双曲線 - 2次関数)、12.2(2次曲線と直線)、放物線と直線の問13の解答を求めてみる。

13. 
    

    準線上の点 P を

    $(-p,b)$

    とおく。

    P を通り傾き m の直線の方程式は、

    $y-b=m(x+p)$

    $y=m(x+p)+b$

    この直線が放物線と接するのは、

    ${(m(x+p)+b)}^2=4px$

    $m^2(x^2+2px+p^2)+2mb(x+p)+b^2-4px=0$

    $m^2{x}^2+(2m^{2}p+2mb-4p)x+m^2{p}^2+2mbp+b^2=0$

    が重解をもつときである。

    そのとき、

    $\frac{D}{4}={(m^{2}p+mb-2p)}^2-m^2(m^2{p}^2+2mbp+b^2)=0$

    $m^4{p}^2+m^2{b}^2+4p^2+2m^{3}bp-4mbp-4m^2{p}^2-m^4{p}^2-2m^{3}bp-m^2{b}^2=0$

    $-4p^2{m}^2-4bpm+4p^2=0$

    $m^2+\frac{b}{p}m-1=0$

    解と係数の関係により、この2つの解の積は-1である。

    よって、 2本の接線は直交する。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import plot, sqrt, solve, symbols

print('13.')

p = -1
x, y = symbols(' x, y', real=True)
eq = y ** 2 - 4 * p * x
ys = solve(eq, y)
m = symbols('m', nonzero=True, real=True)
p0 = plot(*ys,
          (x, -15, 5),
          ylim=(-10, 10),
          legend=False,
          show=False)

for b in range(-2, 3):
    l = m * (x + p) + b
    ms = solve((m ** 2 * p + m * b - 2 * p) ** 2 -
               m ** 2 * (m ** 2 * p ** 2 + 2 * m * b * p + b ** 2), m)
    for m0 in ms:
        p0.append(plot(l.subs({m: m0}),
                       (x, -15, 5),
                       ylim=(-10, 10),
                       legend=False,
                       show=False)[0])
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p0, colors):
    o.line_color = color
    print(o, color)
p0.save('sample13.png')
p0.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample13.py
13.
cartesian line: -2*sqrt(-x) for x over (-15.0, 5.0) red
cartesian line: 2*sqrt(-x) for x over (-15.0, 5.0) green
cartesian line: (-1 + sqrt(2))*(x - 1) - 2 for x over (-15.0, 5.0) blue
cartesian line: (-sqrt(2) - 1)*(x - 1) - 2 for x over (-15.0, 5.0) brown
cartesian line: (-1/2 + sqrt(5)/2)*(x - 1) - 1 for x over (-15.0, 5.0) orange
cartesian line: (-sqrt(5)/2 - 1/2)*(x - 1) - 1 for x over (-15.0, 5.0) purple
cartesian line: 1 - x for x over (-15.0, 5.0) pink
cartesian line: x - 1 for x over (-15.0, 5.0) gray
cartesian line: (1/2 - sqrt(5)/2)*(x - 1) + 1 for x over (-15.0, 5.0) skyblue
cartesian line: (1/2 + sqrt(5)/2)*(x - 1) + 1 for x over (-15.0, 5.0) yellow
%