数学 - Python - 放物線・だ円・双曲線 - 2次関数 - 2次曲線と直線 - だ円・双曲線と直線 - 双曲線の接線の方程式

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(放物線・だ円・双曲線 - 2次関数)、12.2(2次曲線と直線)、だ円・双曲線と直線の問15の解答を求めてみる。

15. 
    

    双曲線と x 軸との交点

    $(\pm a,0)$

    における接線の方程式は

    $x=\pm a$

    で、

    $\frac{\pm ax}{a^2}-\frac{0y}{b^2}=1$

    $x=\pm a$

    なので問題の方程式となる。

    $y_0\ne 0$

    の場合、 点

    $(x_0,y_0)$

    における双曲線の接線の方程式を

    $y=m(x-x_0)+y_0$

    とおくと、

    $\frac{x^2}{a^2}-\frac{{(mx-(m{x}_0-y_0))}^2}{b^2}=1$

    $(b^2-a^2{m}^2)x^2+2a^{2}m(m{x}_0-y_0)x-a^2{(m{x}_0-y_0)}^2-a^2{b}^2=0$

    が重解をもち、 その解が

    $x_0$

    なので、 解と係数の関係により、

    $x_0=\frac{a^{2}m(m{x}_0-y_0)}{a^2{m}^2-b^2}$

    $a^2{m}^2{x}_0-b^2{x}_0=a^2{m}^2{x}_0-a^{2}m{y}_0$

    $m=\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$

    これを接線の方程式に代入すると、

    $y=\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}(x-x_0)+y_0$

    $a^2{y}_{0}y=b^2{x}_{0}x-b^2{x}_0^2+a^2{y}_0^2$

    $b^2{x}_{0}x-a^2{y}_{0}y=b^2{x}_0^2-a^2{y}_0^2$

    $\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}$

    よって、

    $\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import plot, solve, symbols, Rational

print('15.')

x, y = symbols('x, y', real=True)
a, b = 2, 1
eq = x ** 2 / a ** 2 - y ** 2 / b ** 2 - 1
ys = solve(eq, y)

p = plot(*ys,
         (x, -10, 10),
         ylim=(-10, 10),
         legend=False,
         show=False)

for x0 in [-5, -3, 4, 6]:
    ys0 = solve(eq.subs({x: x0}))
    for y0 in ys0:
        l = solve(x0 * x / a ** 2 - y0 * y / b ** 2 - 1, y)[0]
        p.append(
            plot(l, legend=False, show=False)[0]
        )
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
    print(o, color)
p.save('sample15.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample15.py
15.
cartesian line: -sqrt(x**2 - 4)/2 for x over (-10.0, 10.0) red
cartesian line: sqrt(x**2 - 4)/2 for x over (-10.0, 10.0) green
cartesian line: sqrt(21)*(5*x + 4)/42 for x over (-10.0, 10.0) blue
cartesian line: -sqrt(21)*(5*x + 4)/42 for x over (-10.0, 10.0) brown
cartesian line: sqrt(5)*(3*x + 4)/10 for x over (-10.0, 10.0) orange
cartesian line: -sqrt(5)*(3*x + 4)/10 for x over (-10.0, 10.0) purple
cartesian line: sqrt(3)*(1 - x)/3 for x over (-10.0, 10.0) pink
cartesian line: sqrt(3)*(x - 1)/3 for x over (-10.0, 10.0) gray
cartesian line: sqrt(2)*(2 - 3*x)/8 for x over (-10.0, 10.0) skyblue
cartesian line: sqrt(2)*(3*x - 2)/8 for x over (-10.0, 10.0) yellow
%