数学 - Python - 放物線・だ円・双曲線 - 2次関数 - 2次曲線と直線 - だ円・双曲線と直線 - 楕円と直線の共有点の個数、判別式

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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(放物線・だ円・双曲線 - 2次関数)、12.2(2次曲線と直線)、だ円・双曲線と直線の問16の解答を求めてみる。

16. 
    
    1. 
       
       $x^2+2{(-x+k)}^2=4$

       $3x^2-4kx+2k^2-4=0$

       $\frac{D}{4}=4k^2-3(2k^2-4)$

       $=-2k^2+12$

       $=-2(k^2-6)$

       よって

       $k<-\sqrt{6},\sqrt{6}<k$

       のとき 問題のだ円と直線の共有点の個数は0個。

       $k=\pm \sqrt{6}$

       のとき1個。

       $-\sqrt{6}<k<\sqrt{6}$

       のとき2個。

    2. 
       
       $x^2+2{(mx+2)}^2=4$
       $(1+2m^2)x^2+2·4mx+4=0$
       $\frac{D}{4}=16m^2-(1+2m^2)·4$
       $=4(4m^2-(1+2m^2))$
       $=4(2m^2-1)$

       よって

       $-\frac{1}{\sqrt{2}}<m<\frac{1}{\sqrt{2}}$

       のとき0個。

       $m=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

       のとき1個。

       $m<-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}<m$

       のとき2個。