数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 共通部分が空な2つの閉集合、開集合、実連続写像

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}g:X\to \text{ℝ}\\ g\left(x\right)=d(x,A)-d(x,B)\end{array}$

       とおくと、 f は連続で、

       $\begin{array}{l}\{y\in \text{ℝ}|\exists x\in X[g\left(x\right)<0]\}\\ \{y\in \text{ℝ}|\exists x\in X[g\left(x\right)>0]\}\end{array}$

       は開集合である。

       よって、

       $\begin{array}{l}U=\{x\in X|g\left(x\right)<0\}\\ V=\{x\in X|g\left(x\right)>0\}\end{array}$

       は開集合である。

       この U、 V について、

       $A\subset U,B\subset V$

       が成り立つ。

       また、

       $U\cap V=\varphi$

       である。

       （証明終）

    2. 
       
       $\begin{array}{l}f:X\to \text{ℝ}\\ f\left(x\right)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}\end{array}$

       とおくと、 f は連続関数で、 A 上で

       $f\left(x\right)=\frac{0}{0+d(x,B)}=0$

       B 上で

       $f\left(x\right)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+0}=1$

       また、

       $0\le f\left(x\right)\le 1$

       である。

       （証明終）