数学 - 代数学 - 不等式 - 比、分子と分母の和

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)の練習問題13.の解答を求めてみる。

13. 
    
    $\frac{a+x}{b+y}-\frac{a}{b}$

    $=\frac{ab+bx-ab-ay}{b(b+y)}$

    $=\frac{bx-ay}{b(b+y)}$

    また、

    $\frac{a}{b}<\frac{x}{y}$

    $ay<bx$

    なので、

    $\frac{a+x}{b+y}-\frac{a}{b}>0$

    $\frac{a+x}{b+y}>\frac{a}{b}$

    また、

    $\frac{x}{y}-\frac{a+x}{b+y}$

    $=\frac{bx+xy-ay-xy}{y(b+y)}$

    $=\frac{bx-ay}{y(b+y)}$

    $>0$

    よって

    $\frac{x}{y}>\frac{a+x}{b+y}$

    ゆえに、

    $\frac{a}{b}<\frac{a+x}{b+y}<\frac{x}{y}$

    （証明終）